2020版高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式课件 新人教A版必修5

课标要求1．了解基本不等式的证明过程．2．掌握基本不等式，明确基本不等式成立的条件．3．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．4．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．知识导图学法指导1.注意从数与形的角度来审视基本不等式，体会数形结合思想的应用．2．通过“积定”与“和定”来把握基本不等式并研究最值，加深对“一正、二定、三相等”的理解．3．注重基本不等式的变形，体会其特征，强化记忆．知识点一两个不等式不等式内容等号成立的条件注意重要不等式a2＋b2≥____当且仅当“a＝b”时取“＝”a，b可以是任意实数基本不等式ab≤____当且仅当“a＝b”时取“＝”a，b只能是正实数2aba＋b2状元随笔(1)不等式中的a，b既可以是具体的某个实数，也可以是一个代数式．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b⇒a2＋b2＝2ab；②仅当a＝b时取等号，即a2＋b2＝2ab⇒a＝b.(3)等号能取到的条件是a＝b，若a，b不能相等，则a2＋b2≥2ab中的等号不能成立．(4)常用变形：ab≤a2＋b22，ab≤a＋b22,4ab≤a2＋b2＋2ab，2(a2＋b2)≥(a＋b)2.(5)基本不等式可以看作重要不等式在a与b均大于零时的特例，因此尤其需要注意的是两者中a、b的取值．在重要不等式中，a和b由于进行了平方，因此只需要是任意实数即可．但在基本不等式中，由于需要开方，所以a、b必须大于零．知识点二基本不等式与最值1．已知x、y∈R＋，如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最____值，为_____.2．已知x、y∈R＋，如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最____值，为____.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．运用以上结论求最值要注意下列三个条件：一正：要求各数均为____；二定：要求和或积为____；三相等：要保证具备____成立的条件．小2p大S24正数定值等号状元随笔(1)代数式中，各项必须都是正数．例如x＋1x，当x0时，就不能直接用基本不等式得x＋1x≥2，而应该转化为正数后再应用基本不等式．(2)代数式中，含变量的各项的和或积必须是常数．若含变量的各项之和或之积不是常数(定值)时，必须进行适当的配凑，使和或积变为常数(定值)，方可求出函数的最大值或最小值．(3)利用基本不等式求最值时，必须保证“＝”能取得．若取不到等号，必须经过适当的变形，使之能取到等号．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sinx＋4sinx的最小值为4.()(4)x0且y0是xy＋yx≥2的充要条件．()××××2．下列不等式正确的是()A．a＋1a≥2B．(－a)＋－1a≤－2C．a2＋1a2≥2D．(－a)2＋－1a2≤－2解析：因为a20，所以a2＋1a2≥2成立．答案：C3．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋12xC.1x2＋1≤1D．x＋1x≥2解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以1x2＋1≤1成立．答案：C4．已知x1，y1且xy＝16，则log2x·log2y()A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4解析：因为x1，y1，所以log2x0，log2y0.所以log2x·log2y≤log2x＋log2y22＝log2xy22＝4，当且仅当x＝y＝4时取等号．答案：D类型一对基本不等式的理解例1(1)设0ab，则下列不等式中正确的是()A．ababa＋b2B．aaba＋b2bC．aabba＋b2D.abaa＋b2b【解析】(1)方法一：因为ba0，所以a＋b2ab，2bb＋a，ba＋b2，所以aaba＋b2b.方法二：取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以aaba＋b2b.【答案】(1)B(2)给出下面四个推导过程：①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2ba·ab＝2；②因为x，y∈(0，＋∞)，所以lgx＋lgy≥2lgx·lgy；③因为a∈R，a≠0，所以4a＋a≥24a·a＝4；④因为x，y∈R，xy0，所以xy＋yx＝－－xy＋－yx≤－2－xy－yx＝－2.其中正确的推导过程为()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】(2)从基本不等式成立的条件考虑．①因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，所以①的推导过程正确；②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，所以②的推导过程是错误的；③因为a∈R，不符合基本不等式的条件，所以4a＋a≥24a·a＝4是错误的；④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将xy＋yx提出负号后，－xy，－yx均变为正数，符合基本不等式的条件，所以④正确．【答案】(2)D(1)运用基本不等式证明，也可以用特殊值法排除错误选项．(2)注意基本不等式运用的条件，一正二定三相等．方法归纳应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数．(2)二定值：只有ab或a＋b有一个为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值．(3)三相等：即“＝”必须成立，求出的定值才是要求的最值．跟踪训练1(1)给出下列条件：①ab0；②ab0；③a0，b0；④a0，b0，其中能使ba＋ab≥2成立的条件有()A．1个B．2个C．3个D．4个(2)下列不等式中正确的是()A．a＋4a≥4B．a2＋b2≥4abC.ab≥a＋b2D．x2＋3x2≥23解析：(1)当ba，ab均为正数时，ba＋ab≥2，故只需a、b同号即可，∴①③④均可以．(2)若a0，则a＋4a≥4不成立，故A错误．取a＝1，b＝1，则a2＋b24ab，故B错误．取a＝4，b＝16，则aba＋b2，故C错误．由基本不等式可知选项D正确．答案：(1)C(2)D类型二利用基本不等式求最值(已知自变量范围求最值)例2(1)求y＝x(1－x)(0x1)的最大值．(2)当x2时，求x＋1x－2的最小值；(3)若x0，求f(x)＝4x＋9x的最大值．【解析】(1)y＝x(1－x)≤x＋1－x22＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，等号成立，即当x＝12时，函数取得最大值14.(2)x＋1x－2＝(x－2)＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立．∴x＋1x－2min＝4，此时，x＝3.(3)∵x0，∴－x0，由基本不等式得－f(x)＝－4x＋9x＝(－4x)＋－9x≥2－4x·－9x＝236＝12，当且仅当－4x＝－9x，即x＝－32时，等号成立．∴f(x)≤－12.∴f(x)＝4x＋9x取最大值－12.状元随笔(1)符合基本不等式求最值的条件，可直接求解；(2)需变形为积为定值的形式；(3)需变形为正数再用基本不等式.方法归纳为了使所求式子满足“一正、二定、三相等”，首先需要作代数变形，通过变形构造出“和”或“积”为定值，为了确定最值是否取到，求出最值后要验证相等成立的条件是否满足．口诀为“求积造和定，求和造积定，若是能相等，就可直接用，若是不相等，考虑单调性”．跟踪训练2(1)函数y＝log2x＋1x－1＋5(x1)的最小值为()A．－4B．－3C．3D．4(2)函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3处取得最小值，则a＝________.解析：(1)x＋1x－1＋5＝x－1＋1x－1＋6≥2＋6＝8，∴y＝log2x＋1x－1＋5≥log28＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，故选C.(2)f(x)＝4x＋ax≥24a＝4a，当且仅当4x＝ax，即x＝a2时等号成立．则a2＝3，a＝36.答案：(1)C(2)36类型三利用基本不等式求最值(已知代数式为定值求最值)例3已知x0，y0且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．【解析】解法一：∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9xy≥10＋2yx·9xy＝16，当且仅当yx＝9xy时取等号．又∵1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12时，上式等号成立．故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.解法二：∵1x＋9y＝1，x0，y0，∴y＝9xx－1.∴9xx－10.∴x1.故x＋y＝x＋9xx－1＝x＋9x－1＋9＝(x－1)＋9x－1＋10≥6＋10＝16.当且仅当x－1＝9x－1时等号成立．∵x1，∴x＝4，y＝12时上式等号成立．故当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.状元随笔此类条件用法有两种，一是“1的反代换”，将x＋y化为(x＋y)1x＋9y后展开再利用基本不等式；二是消元，将x＋y化为一元形式后再求解.方法归纳第一种方法叫常值代换法，这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求1x＋1y的最小值”和“已知ax＋by＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．跟踪训练3(1)已知a、b∈R＋，且a＋b＝4，求13a＋12b的最小值．(2)已知x1，y2，且x＋y＝15，求z＝(x－1)(y－2)的最大值．解析：(1)13a＋12b＝14a＋b3a＋a＋b2b＝1456＋b3a＋a2b≥1456＋2b3a·a2b＝5＋2624.当且仅当b3a＝a2b，即a＝46－8，b＝12－46时，13a＋12b取得最小值，最小值为5＋2624.(2)∵x1，y2，∴x－10，y－20.又由x＋y＝15，得(x－1)＋(y－2)＝12∴z＝(x－1)(y－2)≤x－1＋y－222＝36.当且仅当x－1＝y－2时，z有最大值36.