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课标要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式,体会等比数列与指数函数的关系.3.能在具体问题的情境中发现等比关系.知识导图学法指导1.类比等差数列的定义、通项公式的学习,掌握等比数列的定义、通项公式及应用.2.理解了等比数列的定义即可掌握等比中项的概念及应用.3.把握等比数列通项公式中各量的关系及等比数列的性质是应用的基础.4.能够利用指数型函数的性质处理等比数列的单调性等问题.5.重视整体思想在解题中的应用.第一课时等比数列的概念与通项公式知识点一等比数列的定义文字表示一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于____常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的____,公比通常用字母q(q≠0)表示符号表示在数列{an}中,如果an+1an=q(q≠0,n∈N*)或________=q(q≠0,n∈N*且n≥2)成立,则称{an}为等比数列比2同一公比anan-1状元随笔(1)由等比数列的定义知,数列除末项外的每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此公比也不为0,由此可知,若数列中有“0”项存在,则该数列不可能是等比数列.(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”,同时注意公比是每一项与其前一项之比,前后次序不能颠倒.(3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一,一定不能把“同”字省略.知识点二等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成____数列,那么G叫做a与b的等比中项.状元随笔(1)若G是a与b的等比中项,则Ga=bG,所以G2=ab,G=±ab.(2)与“任意两个实数a,b都有唯一的等差中项A=a+b2”不同,只有当a、b同号时a、b才有等比中项,并且有两个等比中项,分别是ab与-ab;当a,b异号时没有等比中项.(3)在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.等比知识点三等比数列的通项公式设等比数列{an}的公比为q,则这个等比数列的通项公式是an=________(a1,q≠0且n∈N*).状元随笔(1)已知首项a1和公比q,可以确定一个等比数列.(2)在公式an=a1qn-1中,有an,a1,q,n四个量,已知其中任意三个量,可以求得第四个量,其中a1,q为两个基本量.(3)对于等比数列{an},若q0,则{an}中正负项间隔出现,如数列1,-2,4,-8,16,…;若q0,则数列{an}各项同号.从而等比数列奇数项必同号;偶数项也同号.a1qn-1[小试身手]1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列为{an},且满足anan-1=q(n≥2,q为不等于0的常数),则这个数列是等比数列.()(2)在等比数列{an}中,若已知任意两项的值,则可以求出首项、公比和数列任一项的值.()(3)G为a,b的等比中项⇔G2=ab.()(4)若一个数列从第二项开始,每一项都是它前后两项的等比中项,则这个数列是等比数列.()√√××2.若{an}为等比数列,且2a4=a6-a5,则公比是()A.0B.1或-2C.-1或2D.-1或-2解析:由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,得2=q2-q,所以q=-1或q=2.答案:C3.28是等比数列42,4,22,…的()A.第10项B.第11项C.第12项D.第13项解析:由题意可知q=442=22,令28=42×22n-1,所以12n-1=132=1210,故n-1=10,即n=11.答案:B4.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则ab的值为()A.±12B.12C.1D.±1解析:由1,a,3成等差数列,得2a=4,即a=2;由1,b,4成等比数列,得b2=4,即b=±2,则ab=±1,故选D.答案:D类型一等比数列的通项公式及其应用例1在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.【解析】(1)因为a4=a1q3,a7=a1q6,所以a1q3=2,①a1q6=8,②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=2q3=12,所以an=a1qn-1=22n-53.(2)方法一:由已知可得a2+a5=a1q+a1q4=18,①a3+a6=a1q2+a1q5=9,②由②①得q=12,从而a1=32.又an=1,所以32×12n-1=1,即26-n=20,所以n=6.方法二:因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=12.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.状元随笔(1)由a7a4=q3便可求出q,再求出a1,则an=a1·qn-1.(2)两个条件列出关于a1,q的方程组,求出a1,q后再由an=1求n;也可以直接先由q=a3+a6a2+a5入手.方法归纳等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.跟踪训练1在等比数列{an}中,(1)已知a3=9,a6=243,求a9;(2)已知a1=98,an=13,q=23,求n.解析:(1)因为a3=a1q2=9,①a6=a1q5=243,②所以②①得q3=27,所以a9=a6q3=243×27=6561.(2)因为a1=98,an=13,q=23,所以13=98·23n-1,所以827=23n-1,解得n=4.类型二等比数列的判定例2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=13(an-1)(n∈N*).(1)求a1,a2.(2)求证:数列{an}是等比数列.【解析】(1)由Sn=13(an-1)得a1=13(a1-1),所以a1=-12,又S2=13(a2-1),即a1+a2=13(a2-1),得a2=14.(2)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=13(an-1)-13(an-1-1),得anan-1=-12,又a1=-12,所以{an}是首项为-12,公比为-12的等比数列.状元随笔(1)a1=13(a1-1)⇒a1,a1+a2=13(a2-1)⇒a2;(2)要证an+1an或anan-1(n≥2)为常数,须先将题设Sn与an的关系转化为an与an-1的关系,这当然要用an=Sn-Sn-1(n≥2).方法归纳判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法:an+1an=q(q是常数)或anan-1=q(q是常数,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(3)通项公式法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.跟踪训练2若数列{an}满足a1=78,且an+1=12an+13,证明数列an-23是等比数列,并求出{an}的通项公式.解析:因为an+1=12an+13,所以an+1-23=12an+13-23=12an-23,所以an+1-23an-23=12,所以an-23是首项为524,公比为12的等比数列.∴an-23=524·12n-1,∴an=524·21-n+23.类型三等比中项及应用例3(1)互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=________.【解析】(1)由题意知2b=a+c,a2=bc,消去a得4b2-5bc+c2=0,因为b≠c,所以c=4b,所以a=-2b,代入a+3b+c=10中解得b=2,所以a=-4.【答案】(1)-4(2)等比数列{an}的前三项的和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.(2)设该等比数列的公比为q,首项为a1,因为a2-a5=42,所以q≠1,由已知,得a1+a1q+a1q2=168a1q-a1q4=42,所以a11+q+q2=168①a1q1-q3=42②因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),所以由②除以①,得q(1-q)=14.所以q=12.所以a1=4212-124=96.若G是a5,a7的等比中项,则应有G2=a5a7=a1q4·a1q6=a21q10=962×1210=9.所以a5,a7的等比中项是±3.【答案】(2)±3(1)a+c=2b,a2=bc再联立a+3b+c=10解方程组.(2)设出首项a1,公比q可由条件列出方程组,求出a1,q进而得到a5、a7,再求等比中项,若求a6应注意±a6均为a5和a7的等比中项.方法归纳(1)要证三数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项an-1,an,an+1,则±an都是an-1与an+1的等比中项.跟踪训练3(1)在等比数列{an}中,a1=-16,a4=8,则a7=()A.-4B.±4C.-2D.±2(2)已知1既是a2与b2的等比中项,又是1a与1b的等差中项,则a+ba2+b2的值是()A.1或12B.1或-12C.1或13D.1或-13解析:(1)∵a4是a1与a7的等比中项,∴a24=a1a7,即64=-16a7,故a7=-4.(2)由题意可知a2b2=(ab)2=1,1a+1b=2.∴ab=1,a+b=2或ab=-1,a+b=-2.∴a2+b2=(a+b)2-2ab=2或6.因此a+ba2+b2的值为1或-13.答案:(1)A(2)D
本文标题:2020版高中数学 第二章 数列 2.4.1 等比数列的概念与通项公式课件 新人教A版必修5
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