2020版高中数学 第二章 数列 2.2.1 等差数列的概念与通项公式课件 新人教A版必修5

课标要求1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数的关系．3．能在具体问题的情况中发现等差数列．知识导图学法指导1.理解等差数列的定义是推证等差数列的通项公式、性质，以及判定等差数列的关键．2．把握等差数列通项公式中各量的关系及等差数列的性质是应用的基础．3．学会利用一次函数的性质解决与等差数列有关的问题，从函数、方程的观点解释等差数列的有关问题，加深对等差数列本质的认识．第一课时等差数列的概念与通项公式知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的____________等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____．若数列{an}满足an＋1－an＝d(d为____)，则{an}为等差数列．2前一项的差同一个常数公差常数状元随笔(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.知识点二等差中项若三个数a，A，b组成____数列．则A叫做a与b的等差中项．根据等差数列的定义有A－a＝________，即2A＝________或A＝a＋b2.反之，若2A＝a＋b或A＝a＋b2，则a，A，b或b，A，a成等差数列．等差b－Aa＋b状元随笔在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N*均成立，则数列{an}是等差数列．因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．知识点三等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋____d.(n－1)状元随笔1.要确定等差数列的通项公式，只需确定首项a1和公差d.2．在通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量：an，a1，n，d，只要知道任意三个就可求第四个．3．已知等差数列{an}中的任意两项an，am(n，m∈N*，m≠n)，则an＝a1＋n－1d，am＝a1＋m－1d⇒an－am＝(n－m)d⇒d＝an－amn－m，an＝am＋n－md.这表明若已知等差数列中的任意两项即可求得其公差，进而求得其通项公式；若已知等差数列中的某一项与公差，就可以确定等差数列的任意一项．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1,1,1,1,1是等差数列．()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(3)任意两个实数都有等差中项．()√×√2．下列数列是等差数列的是()A.13，15，17，19B．1，3，5，7C．1，－1,1，－1D．－1,1,3,5答案：D3．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－4n，则数列{an}的首项与公差分别是()A．1,4B．－1，－4C．4,1D．－4，－1解析：n＝1时，a1＝－1，n＝2时，a2＝3－4×2＝－5，所以公差d＝a2－a1＝－4.答案：B4．已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a6＝26，则a8的值是()A．9B．12C．18D．22解析：a2＝4，a4＋a6＝a2＋2d＋a2＋4d＝26,6d＝18，a8＝a2＋6d＝4＋18＝22.答案：D类型一等差数列的通项公式例1(1)2000是等差数列4,6,8，…的()A．第998项B．第999项C．第1001项D．第1000项(2)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，则首项a1＝________，公差d＝________.(3)已知等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通项公式及第20项．【解析】(1)a1＝4，a2＝6，∴d＝2∴an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2令2n＋2＝2000得n＝999.∴2000是该等差数列的第999项．(2)设首项为a1，公差为d，则有a5＝a1＋5－1d，a12＝a1＋12－1d，即10＝a1＋4d，31＝a1＋11d，解得a1＝－2，d＝3.(3)由题意可知a1＝1，a2＝－3，所以公差d＝a2－a1＝－4.所以an＝a1＋(n－1)d＝1－4(n－1)＝5－4n.所以a20＝5－4×20＝－75.即该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.【答案】(1)B(2)－23(3)该数列的通项公式为an＝5－4n，第20项为－75.(1)直接求公差得出通项公式，令an＝2000，求n.(2)利用通项公式列方程组求a1，d.(3)先求通项公式，再利用通项公式求项．方法归纳等差数列通项公式主要有4个方面的应用：(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所需求的项．(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数，则可判断数列{an}是等差数列．跟踪训练1(1)等差数列{an}中，a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()A．50B．49C．48D．47(2)若数列{an}是等差数列，且a15＝8，a60＝20，则a75＝________.解析：(1)由题知2a1＋5d＝4，将a1＝13代入得，d＝23，则an＝13＋23(n－1)＝33，故n＝50，选A.(2)设等差数列{an}的公差为d，则a15＝a1＋14d＝8，a60＝a1＋59d＝20，解得a1＝6415，d＝415.所以an＝a1＋(n－1)d＝6415＋415(n－1)＝415n＋4，所以a75＝415×75＋4＝20＋4＝24.答案：(1)A(2)24类型二等差数列的判定与证明例2(1)判断下列数列是否为等差数列？①an＝3n＋2②an＝n2＋n(2)在数列{an}中，a1＝0，当n≥2时，an＋1an＝nn－1.求证：数列{an}是等差数列．【解析】(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常数)，n为任意正整数，所以此数列为等差数列．②因为an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常数)，所以此数列不是等差数列．(2)当n≥2时，由an＋1an＝nn－1，得(n－1)an＋1＝nan，所以nan＋2＝(n＋1)an＋1，两式相减得：nan＋2－(n－1)an＋1＝(n＋1)an＋1－nan，整理得，nan＋2＋nan＝2nan＋1，所以an＋2＋an＝2an＋1，所以an＋2－an＋1＝an＋1－an.又因为a3－a2＝2a2－a2＝a2＝a2－0＝a2－a1，所以数列{an}是等差数列．(1)只要判断an＋1－an是否是一个常数；(2)不能直接求出an＋1－an时，若能让明an＋2－an＋1＝an＋1－an恒成立，也说明{an}是等差数列．方法归纳等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．跟踪训练2(1)已知数列{an}的通项公式为an＝4－2n，求证：数列{an}是等差数列．(2)已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.①求证：数列{bn}是等差数列；②求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：因为an＝4－2n，所以an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n.所以an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2(常数)．所以{an}是以2为首项，－2为公差的等差数列．(2)①证明：因为bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2an－2－1an－2＝an－22an－2＝12.又b1＝1a1－2＝12，所以数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．②由①知bn＝12＋(n－1)×12＝12n.因为bn＝1an－2，所以an＝1bn＋2＝2n＋2.类型三等差中项例3已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？【解析】方法一：设等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3.依题意得a1＋a2＋a3＝18a1·a2·a3＝66，∴3a1＋3d＝18a1·a1＋d·a1＋2d＝66，解得a1＝11d＝－5或a1＝1d＝5.∵数列{an}是递减等差数列，∴d0.故取a1＝11，d＝－5，∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.∴－34是数列{an}的项，且为第10项．方法二：设等差数列{an}的前三项依次为：a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝18a－d·a·a＋d＝66，解得a＝6d＝±5.又∵{an}是递减等差数列，即d0，∴取a＝6，d＝－5.∴{an}的首项a1＝11，公差d＝－5，∴通项公式an＝11＋(n－1)·(－5)，即an＝－5n＋16.令an＝－34，解得n＝10.所以－34是数列{an}的项，且为第10项.一方面可以将条件表示成a1和d的方程组，先解出a1和d再进行后续步骤，也可以用等差中项和公差设出这三个数再求解．要注意递减等差数列的公差d0.方法归纳(1)在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝an＋1＋an－12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d.方法二巧妙地设出了等差数列的前三项，大大地减少了运算量．跟踪训练3(1)若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26B．29C．39D．52(2)已知b是a，c的等差中项，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，同时a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．解析：(1)因为5，x，y，z,21构成等差数列，所以y是x，z的等差中项，也是5,21的等差中项，所以x＋z＝2y,5＋21＝2y，所以y＝13，x＋z＝26，所以x＋y＋z＝39.(2)因为2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.设等差数列a，b，c的公差为d，则a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：2lg4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．从而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.所以d＝4或d＝－2.所以a，b，c三个数分别为1,5,9或7,5,3.答案：(1)C(2)1,5,9或7,5,3