2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第7讲 解三角形的应用举例配套课时作业课件

配套课时作业1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A．10kmB．103kmC．105kmD．107km答案D答案解析如图所示，由余弦定理可得AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．解析2．(2018·沈阳模拟)如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m答案A答案解析由正弦定理得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)．解析3．(2019·临沂质检)在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m答案A答案解析如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴AC＝40033.在△ACD中，由正弦定理，得ACsin120°＝DCsin30°，即DC＝AC·sin30°sin120°＝4003(m)．解析4.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm答案B答案解析在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故|AB|＝3a.解析5．(2019·马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A.1722海里/小时B．346海里/小时C.1762海里/小时D．342海里/小时答案C答案解析如图所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°，由正弦定理可得68sin45°＝MNsin120°，所以MN＝346，所以该船的航行速度为1762海里/小时．解析6．(2019·云南红河州质检)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．56B．153C．52D．156答案D答案解析在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，所以BC＝152.在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝152×3＝156.故选D.解析7．(2018·天津模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．102海里B．103海里C．203海里D．202海里答案A答案解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin30°＝ABsin45°，解得BC＝102(海里)．解析8.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6min，则客船在静水中的速度为()A．8km/hB．62km/hC．234km/hD．10km/h答案B答案解析设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝0.61＝35，从而cosθ＝45，所以由余弦定理得110v2＝110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝62(km/h)．解析9．某人在C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为()A．15米B．5米C．10米D．12米答案C答案解析如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，OD2＝OC2＋CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．故选C.解析10.(2019·衡水模拟)某观察站B在A城的南偏西20°的方向，由A出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B处测得此公路上距B处30km的C处有一人正沿此公路骑车以40km/h的速度向A城驶去，行驶了15min后到达D处，此时测得B与D之间的距离为810km，则此人到达A城还需要()A．40minB．42minC．48minD．60min答案C答案解析由题意可知，CD＝40×1560＝10.cos∠BDC＝102＋8102－3022×10×810＝－1010，∴cos∠ADB＝cos(π－∠BDC)＝1010，∴sin∠ABD＝sin[π－(∠ADB＋∠BAD)]＝255.解析在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝BDsin∠BAD，∴AD255＝81022，∴AD＝32，∴所需时间t＝3240＝0.8h，∴此人还需要0.8h即48min才能到达A城．解析11．如图，某工程中要将一长为100m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.答案1002答案解析设坡底需加长xm，由正弦定理得100sin30°＝xsin45°，解得x＝1002.解析12．如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案60答案解析根据已知的图形可得AB＝46sin67°.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，由正弦定理，得ABsin30°＝BCsin37°.所以BC≈2×460.92×0.60＝60(m)．解析13．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.答案150答案解析在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100m，所以AC＝1002m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，ACsin45°＝AMsin60°，因此AM＝1003m.在Rt△MNA中，AM＝1003m，∠MAN＝60°，由MNAM＝sin60°得MN＝1003×32＝150m，故填150.解析14．(2019·湖北武汉质检)如图，在海中一孤岛D的周围有2个观察站A，C，已知观察站A在岛D的正北5nmile处，观察站C在岛D的正西方，现在海面上有一船B，在A点测得其在南偏西60°方向4nmile处，在C点测得其在北偏西30°，则两观测点A与C的距离为________nmile.答案27答案解析如图，延长DC和AB交于点E，由题意可得∠E＝30°，∠ABC＝90°，在Rt△ADE中，AE＝ADsin30°＝10(nmile)，所以EB＝AE－AB＝6(nmile)．在Rt△EBC中，BC＝BE·tan30°＝23(nmile)，在Rt△ABC中，AC＝AB2＋BC2＝27(nmile)．解析15．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6.现要在点C处搭建一个观测站CD，点D在顶端．(1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长；(2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2(结果精确到1)．(参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6)解(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端，∴CD⊥AB.又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4.(2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°，∴由ADsinβ＝ABsin∠ADB得AD＝ABsinβsin∠ADB＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5.在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcosα＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.答案16．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.答案根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理，得BCsinα＝ACsin120°，解得sinα＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.答案17．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，则甲船应沿什么方向行驶才能最快追上乙船？追上时甲船行驶了多少海里？解如图所示，设到C点甲船追上乙船，乙到C地用的时间为t，乙船速度为v，则BC＝tv，AC＝3tv，B＝120°，由正弦定理知BCsin∠CAB＝ACsinB，∴1sin∠CAB＝3sin120°，∴sin∠CAB＝12，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝AB＝a，答案∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝a2＋a2－2a2·－12＝3a2，∴AC＝3a，沿北偏东30°方向行驶才能最快追上乙船，追上时甲行驶了3a海里．答案c18．(2019·江西模拟)为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测．如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H处的仰角为30°.(已知声音的传播速度为340米/秒)(1)求A，C两地的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC.解(1)设BC＝x，由条件可知AC＝x＋217×340＝x＋40，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×12，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420，故A，C两地的距离为420米．答案(2)在△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，由正弦定理，可得ACsin∠AHC＝HCsin∠HAC，即420sin60°＝HCsin30°，所以HC＝420×1232＝1403，故这种仪器的垂直弹射高度为1403米．答案