2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 新人教

第3讲三角函数的图象与性质基础知识整合正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质1．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．3．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．1．函数y＝tanπ4－x的定义域是()答案D答案解析y＝tanπ4－x＝－tanx－π4，由x－π4≠π2＋kπ，k∈Z，得x≠kπ＋3π4，k∈Z.故选D.解析2．(2019·长沙模拟)函数y＝sin12x＋π3，x∈[－2π，2π]的单调递增区间是()A.－2π，－5π3B.－2π，－5π3和π3，2πC.－5π3，π3D.π3，2π答案C答案解析令z＝12x＋π3，函数y＝sinz的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，由2kπ－π2≤12x＋π3≤2kπ＋π2得4kπ－5π3≤x≤4kπ＋π3(k∈Z)，而x∈[－2π，2π]，故其单调递增区间是－5π3，π3.故选C.解析3．(2019·衡水中学调研)函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0答案B答案解析由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.解析4．(2019·柳州摸底)设函数f(x)＝sin2x－π6，则下列结论错误的是()A．f(x)的周期为πB．f(x)的图象关于点π12，0对称C．f(x)在0，π2上是增函数D．f(x)的图象关于直线x＝－π6对称答案C答案解析T＝2π2＝π，A正确；x＝π12时，2x－π6＝0，fπ12＝sin0＝0，B正确；由－π2＋2kπ≤2x－π6≤π2＋2kπ(k∈Z)得－π6＋kπ≤x≤π3＋kπ(k∈Z)，∴f(x)在0，π3上是增函数，在π3，π2上单调递减，C错误；x＝－π6时，2x－π6＝－π2，∴f－π6＝－1，D正确．故选C.解析5．函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时x＝________.答案53π4＋2kπ(k∈Z)答案解析函数y＝3－2cosx＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x＋π4＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝3π4＋2kπ(k∈Z)．解析核心考向突破考向一三角函数的定义域例1(1)(2019·烟台模拟)函数y＝cosx－32的定义域为()A.－π6，π6B.kπ－π6，kπ＋π6(k∈Z)C.2kπ－π6，2kπ＋π6(k∈Z)D．R答案C答案解析∵cosx－32≥0，得cosx≥32，∴2kπ－π6≤x≤2kπ＋π6，k∈Z.解析(2)(2019·江苏模拟)函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为________．答案－3，－π2∪0，π2答案解析由sin2x＞0，9－x2≥0，得kπ＜x＜kπ＋π2，k∈Z，－3≤x≤3.∴－3≤x＜－π2或0＜x＜π2.∴函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域为－3，－π2∪0，π2.解析触类旁通1求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式或等式.2求三角函数的定义域经常借助两个工具，即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴.3对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式组分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集.即时训练1.函数y＝2sinx－1的定义域为()A.π6，5π6B.2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)C.2kπ＋π6，2kπ＋5π6(k∈Z)D.kπ＋π6，kπ＋5π6(k∈Z)答案B答案解析由2sinx－1≥0，得sinx≥12，所以2kπ＋π6≤x≤2kπ＋5π6(k∈Z)．解析2．函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域是________．答案{xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z答案解法一：利用图象．在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示：在[0,2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，在π4，5π4内sinxcosx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{xπ4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.解析解法二：利用三角函数线．如图，MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinxcosx，只须π4x5π4(在[0,2π]内)．解析所以定义域为{x|π4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.解法三：sinx－cosx＝2sinx－π40，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπx－π4π＋2kπ，解得2kπ＋π4x5π4＋2kπ，k∈Z.所以定义域为{x|π4＋2kπx5π4＋2kπ，k∈Z.解析考向二三角函数的值域例2(1)(2019·青海模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋π4，求函数f(x)在区间－π2，0上的值域是________．答案[－1，2]答案解析因为－π2≤x≤0，所以－3π4≤2x＋π4≤π4，所以当2x＋π4＝－3π4，即x＝－π2时，f(x)有最小值，f(x)min＝－1；当2x＋π4＝0，即x＝－π8时，f(x)有最大值，f(x)max＝2，即f(x)在－π2，0上的值域为[－1，2]．解析(2)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________．答案2答案解析令t＝sinx－cosx，又x∈[0，π]，∴t＝2sinx－π4，t∈[－1，2]．由t＝sinx－cosx，得t2＝1－2sinxcosx，即sinxcosx＝1－t22.∴原函数变为y＝t＋1－t22，t∈[－1，2]．解析即y＝－12t2＋t＋12.∴当t＝1时，ymax＝－12＋1＋12＝1；当t＝－1时，ymin＝－12－1＋12＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2.解析触类旁通求解三角函数的值域最值，首先把三角函数化为y＝Asinωx＋φ＋k的形式，再求最值值域，或用换元法令t＝sinx，或t＝sinx±cosx化为关于t的二次函数求值域最值.解题时要注意所换元的取值范围.即时训练3.(2018·银川模拟)函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________．答案2－3答案解析∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴－32≤sinπ6x－π3≤1，故－3≤2sinπ6x－π3≤2.即函数y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－3.所以最大值与最小值的和为2－3.解析4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cosx－34x∈0，π2的最大值是________．答案1答案解析f(x)＝1－cos2x＋3cosx－34＝－cosx－322＋1.∵x∈0，π2，∴cosx∈[0,1]，∴当cosx＝32时，f(x)取得最大值，最大值为1.解析考向三三角函数的性质角度1三角函数的奇偶性例3(1)已知函数y＝2sinx＋θ＋π3θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为()A．0B.π6C.π4D.π3答案B答案解析因为函数f(x)为偶函数，所以θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)．又因为θ∈－π2，π2，所以θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意．故选B.解析(2)(2019·哈尔滨模拟)若函数y＝3cos2x－π3＋φ为奇函数，则|φ|的最小值为________．答案π6答案解析依题意得，－π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ＋5π6(k∈Z)，因此|φ|的最小值是π6.解析角度2三角函数的对称性例4(1)已知函数f(x)＝sinωx＋π3(ω0)的最小正周期为π，则该函数的图象()A．关于点π3，0对称B．关于直线x＝π4对称C．关于点π4，0对称D．关于直线x＝π3对称答案A答案解析由T＝π知ω＝2πT＝2ππ＝2，所以函数f(x)＝sin2x＋π3.函数f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ(k∈Z)，解得x＝π12＋kπ2(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋π3＝kπ(k∈Z)，解得x＝－π6＋kπ2(k∈Z)．故选A.解析(2)(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________．答案－π6答案解析∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝π3对称，∴x＝π3时，函数取得最大值或最小值，∴sin2π3＋φ＝±1.∴2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ－π6(k∈Z)，又－π2φπ2，∴φ＝－π6.解析角度3三角函数的单调性例5(1)函数y＝sinπ4－x的一个单调增区间为()A.3π4，7π4B.－π4，3π4C.－π2，π2D.－3π4，π4答案A答案解析y＝sinπ4－x＝－sinx－π4，故由2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2，解得2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)．因此，函数y＝sinπ4－x的单调增区间为2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．解析(2)已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0,2)答案A答案解析由2kπ＋π2≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω(k∈Z)．∵f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，∴2kπω＋π4ω≤π2，2kπω＋5π4ω≥π，解得ω≥4k＋12，ω≤2k＋54.令k＝0，得12≤ω≤54.故选A.解析触类旁通函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(wx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋π2(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．2对称性：利用y＝sinx的对称中心为kπ，0k∈Z求解，令ωx＋φ＝kπk∈Z得其对称中心.,利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋\f(π,2)k∈Z求解，令ωx＋φ＝kπ＋\f(π