2020版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数基础知识整合1．角的概念(1)分类按旋转方向不同分为□01正角、□02负角、□03零角.按终边位置不同分为□04象限角和□05轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝____________弧度；180°＝____________弧度；②弧长公式：l＝____________；③扇形面积公式：S扇形＝□1012lr＝□1112|α|r2.说明：②③公式中的α必须为弧度制！□06半径长□072π□08π□09|α|r3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝______，cosα＝_______，tanα＝_______(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．□12y□13x□14yx如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的____________________和____________．□15正弦线，□16余弦线□17正切线1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．1．(2019·山东模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P35，－45，则sinα－cosα的值是()A．－75B．－15C.15D.75答案A答案解析由题意知sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα－cosα＝－45－35＝－75.故选A.解析2．若sinθcosθ0，则角θ是()A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角答案D答案解析因为sinθcosθ0，所以sinθ0，cosθ0或sinθ0，cosθ0.所以角θ是第二或第四象限角．故选D.解析3．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为()A．10πB．9πC.9π10D.10π9答案D答案解析单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×π180＝10π9，由弧度数的定义得10π9＝lr，所以l＝10π9.解析4．设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝15x，则tanα＝()A.43B.34C．－34D．－43答案D答案解析∵α是第二象限角，∴x＜0.又由题意知xx2＋42＝15x，解得x＝－3.∴tanα＝4x＝－43.解析5．(2019·潍坊模拟)集合αkπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C答案解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与5π4≤α≤3π2表示的范围一样．解析6．(2019·三明模拟)若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．答案－43答案解析由三角函数的定义有：tan420°＝a－4.又tan420°＝tan(360°＋60°)＝tan60°＝3，故a－4＝3，得a＝－43.解析核心考向突破考向一角的概念及表示例1(1)设集合M＝，N＝，判断两集合的关系()A．M＝NB．MNC．NMD．M∩N＝∅答案B答案解析解法一：由于M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.解析解法二：在集合M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B.解析(2)设角α是第二象限的角，且cosα2＝－cosα2，则α2是第________象限角．答案三答案解析因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．又因为cosα2＝－cosα2，所以cosα20.故α2是第三象限角．解析触类旁通终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．即时训练1.(2019·绵阳质检)点A(sin2019°，cos2019°)在直角坐标平面上位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C答案解析sin2019°＝sin219°＝－sin39°＜0，cos2019°＝cos219°＝－cos39°＜0.选C.解析2．若角α和β的终边关于y轴对称，则必有()A．α＋β＝π2B．α＋β＝2k＋12π，k∈ZC．α＋β＝2kπ，k∈ZD．α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z答案D答案解析如图所示，设0α′π，0β′π分别是和角α，β终边相同的角，则由角α′和β′的终边关于y轴对称，可得α′＋β′＝π，由终边相同的角可得α＋β＝(2k＋1)π，k∈Z.解析考向二三角函数的定义及其应用角度1利用定义求三角函数的值例2(1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a0)，则2sinα＋cosα的值为()A．－25B.25C．0D.25或－25答案A答案解析因为x＝－4a，y＝3a，a＜0，所以r＝－5a，所以sinα＝－35，cosα＝45，2sinα＋cosα＝2×－35＋45＝－25.故选A.解析(2)(2019·福州检测)若角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα和tanα的值．解设α终边上任一点为P(－4a,3a)，a≠0，当a0时，r＝5a，sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34；当a0时，r＝－5a，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.解析角度2判断三角函数值的符号例3(1)(2019·吉林模拟)若sinαtanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案C答案解析角α在第三象限时，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，满足题意．选C.解析(2)(2018·汕头模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0B．大于0C．等于0D．不存在答案A答案解析∵π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，∴sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0.∴sin2·cos3·tan4＜0.选A.解析角度3利用三角函数的定义求参数例4(1)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A．－12B.12C．－32D.32答案B答案解析因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m0，4m264m2＋9＝125，因此m＝12.解析(2)(2019·莆田模拟)若角α的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为()A．43B．±43C．－43或－433D.3答案C答案解析由三角函数的定义得sinα·cosα＝a－42＋a2·－4－42＋a2＝－4a－42＋a2＝34，即3a2＋16a＋163＝0，解得a＝－43或a＝－433.故选C.解析触类旁通三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.3三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值sinα，cosα，tanα中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况.即时训练3.(2019·温州模拟)若角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值为()A.12B．－12C．－32D．－33答案C答案解析∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－3，∴r＝|OP|＝x2＋y2＝2，∴sinα＝yr＝－32.解析4．设α是第四象限角，则以下函数值一定为负值的是()A．tanα2B．sinα2C．cosα2D．cos2α答案A答案解析因为2kπ－π2α2kπ(k∈Z)，所以kπ－π4α2kπ，4kπ－π2α4kπ.故cos2α，cosα2，sinα2的值正负不定．当k为偶数时，α2是第四象限角；当k为奇数时，α2是第二象限角．因此tanα20.故选A.解析5．若α是第二象限角，其终边上一点P(x，5)，且cosα＝24x，则sinα的值是()A.104B.64C.24D．－104答案A答案解析r＝|PO|＝x2＋5，由三角函数的定义知cosα＝xx2＋5＝24x，则x2＋5＝8.sinα＝5x2＋5＝58＝104.故选A.解析考向三扇形的弧长、面积公式例5已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l，(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解(1)∵α＝60°＝π3rad，R＝10cm，∴l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)．(2)由题意得l＋2R＝20，∴l＝20－2R.∴S扇＝12lR＝12(20－2R)·R＝－R2＋10R＝－(R－5)2＋25.∴当R＝5时，S扇有最大值25.此时l＝20－2×5＝10，α＝lR＝105＝2rad.∴当α＝2rad时，扇形面积最大．答案触类旁通弧长和扇形面积的计算方法(1)在弧度制下，记住下列公式①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r是扇形的半径)．2求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.即时训练6.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2B．2sin1C.2sin1D．sin2答案C答案解析∵2Rsin1＝2，∴R＝1sin1，l＝|α|R＝2sin1.故选C.解析7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案3答案解析设圆的半径为r，弧长为l，则其弧度数为lr.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l12r＝3·lr，即弧度数变为原来的3倍．解析