2020版高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第2节 空间几何体的表面积与体积课件 文 新

第七篇立体几何(必修2)返回导航第2节空间几何体的表面积与体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式.返回导航【教材导读】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的？提示：将其侧面展开利用平面图形面积公式求解．返回导航2．将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么图形？提示：矩形、扇形、扇环．返回导航空间几何体的表面积和体积公式如下返回导航表面积体积棱柱S表＝S侧＋2S底棱柱的底面积为S，高为h，V＝S·h棱锥S表＝S侧＋S底棱锥的底面积为S，高为h，V＝13S·h棱台S表＝S侧＋S上表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱台的上、下底面面积为S′，S，高为h，V＝13(S′＋S′S＋S)h返回导航圆柱的底面半径和母线长分别为r，l圆柱的高为h，V＝πr2h圆柱S表＝2πr2＋2πrl圆锥的高为h，V＝13πr2h圆锥圆锥的底面半径和母线长分别为r，lS表＝πr2＋πrl表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和圆台的高为h，V＝13π(r′2＋r′r＋r2)h返回导航圆台圆台的上、下底面半径和母线长分别为r，r′，l，S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)球球半径为R，S球＝4πR2表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和V球＝43πR3返回导航【重要结论】(1)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球①外接球：球心是正方体中心；半径r＝32a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝a2(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝22a(a为正方体的棱长)返回导航(2)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝64a(a为正四面体的棱长)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝612a(a为正四面体的棱长)返回导航1．圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()(A)4πS(B)2πS(C)πS(D)233πS返回导航A解析：由πr2＝S得圆柱的底面半径是Sπ，故侧面展开图的边长为2π·Sπ＝2πS，所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.返回导航2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()(A)12(B)24(C)40(D)72返回导航C解析：根据条件得到原图是这是一个组合体，上面是四棱锥棱锥，下面是长方体，故得到体积为：2×3×4＋13×12×4＝40.返回导航3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()返回导航(A)2(B)4＋22(C)4＋42(D)6＋42返回导航C解析：由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为2，棱柱的高为2.所以其侧面积S＝2×2＋22×2＝4＋42，故选C.返回导航4．已知正四棱锥OABCD的体积为322，底面边长为3，则以O为球心，OA为半径的球的表面积是________．解析：设O到底面的距离为h，则13×3×h＝322，解得h＝322.OA＝h2＋（62）2＝6，故球的表面积为4π×(6)2＝24π.答案：24π返回导航5．(2017山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．返回导航解析：由给定的三视图可知V＝1×2×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.答案：2＋π2返回导航考点一几何体的表面积一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()返回导航(A)48(B)32＋817(C)48＋817(D)80返回导航C解析：由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；返回导航上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817.返回导航【反思归纳】几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形来解决．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．返回导航【即时训练】(1)一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为()返回导航(A)215(B)15(C)2(D)4返回导航(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()返回导航(A)20＋2π(B)24＋(2－1)π(C)24＋(2－2)π(D)20＋(2＋1)π返回导航(1)解析：几何体如图，SA＝AB＝22，SB＝23，所以最大面SAB的面积为12×23×（22）2－（3）2＝15，故选B.返回导航(2)解析：根据题意得到原图是正方体中挖去一个高为1的圆锥后剩下的图，表面积为正方体的各个面和圆锥的侧面积为：4×6＋2π－π.故选B.返回导航考点二几何体的体积(1)如图所示，已知三棱锥D－ABC中，AD⊥BC，AD，BC之间的距离为h，且AD＝a，BC＝b，求三棱锥D－ABC的体积．(1)返回导航(2)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为()返回导航(A)2π3(B)π3(C)2π9(D)16π9返回导航解：(1)以AB，BC为邻边补成平行四边形ABCE，以AD为侧棱补成平行六面体ABCEDGMF，如图所示，则三棱锥D－ABC的体积V1与平行六面体ABCEDGMF的体积V2之间有V1＝16V2，易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD，BC之间的距离h.因为AD⊥BC，所以四边形BCMG为矩形．所以V1＝16V2＝16S矩形BCMG·h＝abh6.返回导航(2)由三视图可知，该几何体为底面半径为2、高为4的圆锥的13，所以该几何体的体积为V＝13×13×2×2×π×4＝16π9，故选D.返回导航【反思归纳】求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系．(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．返回导航【即时训练】(1)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为______．返回导航(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为________．返回导航解析：(1)由三视图可知直观图是一个底面为边长等于3的正方形，高为1的四棱锥，由棱锥的体积公式得V四棱锥＝13×32×1＝3.(2)因为B1C∥A1D，B1C⊄平面ADD1A1，所以B1C∥平面ADD1A1，所以F到平面ADD1A1的距离等于B1到平面ADD1A1的距离即A1B1＝1.返回导航所以VD1EDF＝VFDD1E＝13S△D1DE·A1B1＝13×12×1×1×1＝16.答案：(1)3(2)16返回导航考点三与球有关的切、接问题(1)正四棱锥P－ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是()(A)16π(B)12π(C)8π(D)4π(2)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是顶角的余弦值为12的等腰三角形．在容器内放一个半径为r的铁球，并注水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为________．返回导航解析：(1)设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝12AC＝12AB2＋BC2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO＝PA2－OA2＝（22）2－22＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.返回导航(2)如图所示，作出轴截面，因为轴截面是顶角的余弦值为12的等腰三角形，所以顶角为π3，所以该轴截面为正三角形．根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面所在圆的半径为3r，则容器内水的体积V＝13π(3r)2·3r－43πr3＝53πr3.将球取出后，设容返回导航器中水的深度为h，则水面圆的半径为33h，从而容器内水的体积V′＝13π33h2h＝19πh3，由V＝V′，得h＝315r，所以这时容器中水的深度为315r.答案：(1)A(2)315r返回导航【即时训练】(1)(2017全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()(A)π(B)3π4(C)π2(D)π4返回导航(2)一个正方体削去一个角所得的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．返回导航解析：(1)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4，故选B.(2)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；所以2R＝23(R为球的半径)，所以R＝3，所以球的体积V＝43πR3＝43π.答案：(1)B(2)43π返回导航【反思归纳】“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．返回导航(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．返回导航考点四折叠与展开问题如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2.P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．返回导航解析：法一由题意知，A1P在几何体内部，但在面A1C1B内，把面A1C1B沿BC1展开与△CBC1在一个平面上如图，连接A1C，则A1C的长度，即CP＋PA1的最小值．返回导航因为∠ACB＝90°，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，AC＝6，BC＝C1C＝2，所以∠A1C1B＝90°，A1C1＝6，所以∠CC1A1＝45°＋90°＝135°.在△CC1A1中，A1C2＝A1C21＋CC21－2A1C1·CC1cos135°＝50，所以A1C＝52，即CP＋PA1的最小值为52.返回导航法二设C1P＝x，由已知可得△A1C1P为直角三角形，则PA1＝36＋x2，在△CC1P中∠CC1P＝45°，CC1＝2，由余弦定理得CP＝C1P2＋CC21－2C1P·CC1cos45°＝x2－2x＋2.因为CP＋PA1＝x2－2x＋2＋x2＋36＝（x－1）2＋（0－1）2＋（x－0）2＋（0－6）2返回导航故可以看作x轴上的动点M(x，0)到两个定点E(1，1)，F(0，6)的距离之和，E点关于x轴的对称点E′(1，－1)．所以CP＋PA1≥|E′F|＝（1－0）2＋（－1－6）2＝50＝52.答案：52返回导航【反思归纳】(1)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离．(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化．返回导航【即时训练】如图，三棱锥SABC中，SA＝AB＝AC＝2，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M，N分别为SB，SC上的点，则△AMN周长的最小值为________．返回导航解析：展开三棱锥的侧面，如图所示．返回导