2020版高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第4节 指数函数课件 文 新人教A版

第二篇函数、导数及其应用(必修1、选修1-2)返回导航第4节指数函数最新考纲1．了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.返回导航【教材导读】1．(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)一定成立吗？nan＝a(n∈N*，且n＞1)呢？指示：(na)n＝a一定成立，而nan＝a未必成立，当n为奇数时，nan＝a；当n为偶数时，nan＝|a|＝a（a≥0），－a（a＜0）.返回导航2．如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？返回导航提示：图中直线x＝1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，所以cd1ab.一般规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．返回导航3．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在其定义域上单调性如何？提示：当0＜a＜1时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递减；当a＞1时，y＝ax在(0，＋∞)上单调递增．返回导航1．根式概念如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，n∈N*当n是奇数时，a的n次方根x＝na当n是偶数时，正数a的n次方根x＝±na(a0)；负数的偶次方根没有意义n次方根性质0的任何次方根都是0，记作n0＝0返回导航概念式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数当n为任意正整数时，(na)n＝a当n为奇数时，nan＝a根式性质当n为偶数时，nan＝|a|＝aa－aa返回导航2.有理数指数幂正分数指数幂：amn＝nam负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1nam概念0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(a0，m，n∈N*，且n1)返回导航ar·as＝ar＋s(ar)s＝ars(ab)r＝arbr运算性质r，s∈Qa0，b0，返回导航3.无理数指数幂无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．返回导航4．指数函数的概念、图象与性质my＝ax(a0，且a≠1)0a1a1图象在x轴上方过定点(0,1)图象特征当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升返回导航定义域R值域(0，＋∞)单调性递减递增当x＝0时，y＝1性质函数变化规律当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1返回导航1．(2017烟台模拟)设x＞0，且1＜bx＜ax，则下列不等式正确的是()(A)0＜b＜a＜1(B)0＜a＜b＜1(C)1＜b＜a(D)1＜a＜b答案：C返回导航2．函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1)的图象一定过定点()(A)(0，1)(B)(1，1)(C)(1，0)(D)(0，0)答案：B返回导航3．若点(a，9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为()(A)0(B)33(C)1(D)3答案：D返回导航4．若3a＝0.618，a∈[k，k＋1]，k∈Z，则k＝________．解析：∵3－1＝13，30＝1，13＜0.618＜1，∴k＝－1.答案：－1返回导航5．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1]．答案：[－1，1]返回导航返回导航返回导航【反思归纳】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．提醒：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．返回导航返回导航返回导航考点二指数函数的图象及应用(1)已知函数y＝2|x＋a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．(2)函数y＝xax|x|(a＞1)的图象大致是()返回导航(3)函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为()(A)(1，＋∞)(B)(0，＋∞)(C)(0，1)(D)无法确定返回导航(1)D解析：解法一由于函数图像关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2|x＋a|＝2|－x＋a|.根据指数函数的单调性可知，|x＋a|＝|－x＋a|，只有当a＝0时，等式恒成立．故填0.解法二根据函数图像的变化规律可知，函数y＝2|x＋a|由函数y＝2x进行变换得到，先将函数y＝2x关于y轴进行翻折，得到函数y＝2|x|，此时函数关于y轴对称，再将图像向左平移a个单位得到y＝2|x＋a|，此时函数关于x＝－a对称，根据题目条件可知对称轴为y轴，故x＝－a＝0，即a＝0.返回导航(2)B解析：y＝ax，x＞0，－ax，x＜0，因为a＞1，依据指数函数的图像特征可知选B.(3)C解析：因为函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图像与y轴的交点在y轴负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b.由题意得0＜a＜1，1－b＜0，解得0＜a＜1，b＞1，故ab∈(0，1)．返回导航【反思归纳】指数函数图象可解决的两类热点问题及思路(1)求解指数型函数的图象与性质问题对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解．返回导航(2)求解指数型方程、不等式问题一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．提醒：应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注意画出的图象的准确性，否则数形结合得到的可能为错误结论．返回导航【即时训练】已知函数y＝13|x＋1|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)指出当x取什么值时有最值．返回导航解析：(1)由函数解析式可得y＝13|x＋1|＝13x＋1，x≥－1，3x＋1，x＜－1.其图像由两部分组成：一部分是：y＝13x(x≥0)――→向左平移1个单位y＝13x＋1(x≥－1)；另一部分是：y＝3x(x＜0)――→向左平移1个单位y＝3x＋1(x＜－1)．返回导航如图所示．返回导航(2)由图像得函数在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减．(3)当x＝－1时函数y取得最大值，ymax＝1.返回导航考点三指数函数的性质及应用考查角度1：比较指数式的大小．比较下列各组数的大小：(1)40.9，80.48，12－1.5；(2)0.80.5与0.90.4.返回导航解析：(1)∵40.9＝21.8，80.48＝21.44.12－1.5＝21.5，又∵y＝2x是增函数，∴21.8＞21.5＞21.44，故40.9＞12－1.5＞80.48.(2)∵0.80.5＜0.90.5，而0.90.5＜0.90.4，∴0.80.5＜0.90.4.返回导航【反思归纳】比较指数型两个数的大小一般需两看，一看底数是否相同，二看指数是否相同，若底数相同则利用指数函数的单调性，若底数不同指数相同，则利用指数函数图象或利用幂函数性质．若底数不同，指数也不同，则利用中间量进行过渡．返回导航考查角度2：简单的指数方程或不等式的应用．设函数f(x)＝（12）x－7，x＜0，x，x≥0，若f(a)＜1，则实数a的取值范围是()(A)(－∞，－3)(B)(1，＋∞)(C)(－3，1)(D)(－∞，－3)∪(1，＋∞)返回导航解析：当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为(12)a－7＜1，即(12)a＜8，即(12)a＜(12)－3，因为0＜12＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为a＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3，1)．故选C.返回导航【反思归纳】简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．返回导航考查角度3：求解指数函数中参数的取值范围．已知函数f(x)＝ax－1ax＋1(a＞0且a≠1)．①求f(x)的定义域和值域．②讨论f(x)的奇偶性．③讨论f(x)的单调性．返回导航解析：①f(x)的定义域是R，令y＝ax－1ax＋1，得ax＝－y＋1y－1.因为ax＞0，所以－y＋1y－1＞0，解得－1＜y＜1.所以f(x)的值域为{y|－1＜y＜1}．②因为f(－x)＝a－x－1a－x＋1＝1－ax1＋ax＝－f(x)，且定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．返回导航③f(x)＝（ax＋1）－2ax＋1＝1－2ax＋1.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2ax2＋1－2ax1＋1＝2（ax1－ax2）（ax1＋1）（ax2＋1）.因为x1＜x2，所以当a＞1时，ax2＞ax1＞0，从而ax2＋1＞0，ax1＋1＞0，ax1－ax2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，f(x)为R上的增函数，返回导航当0＜a＜1时，ax1＞ax2＞0，从而ax1＋1＞0，ax2＋1＞0，ax1－ax2＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，f(x)为R上的减函数．返回导航【反思归纳】指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a的分类讨论.返回导航不考虑定义域而致错求函数y＝44－x2－24－x2＋2＋3的值域．错解：函数可化为y＝(24－x2)2－4(24－x2)＋3，令t＝24－x2，则y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1.∴y≥－1，即所求函数的值域为[－1，＋∞)．返回导航正解：由4－x2≥0得函数定义域为[－2，2]．令t＝24－x2，因为0≤4－x2≤4，0≤4－x2≤2，故t∈[1，4]，∴y＝t2－4t＋3＝(t－2)2－1，它在[1，2]上递减，在[2，4]上递增，∴ymin＝－1，ymax＝3，故所求函数的值域为[－1，3]．返回导航易错提醒：①忘求定义域，②换元后不考虑新元的范围，最终导致值域求错．点评：求函数值域应先确定函数定义域，用换元法求解时，换元后必须确定新元的范围．