2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系配套课时作业课

配套课时作业1．(2019·甘肃兰州诊断)已知直线m，n和平面α，则m∥n的一个必要条件是()A．m∥α，n∥αB．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n⊂αD．m，n与平面α成等角解析A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面内，必要性不成立；D中，m，n平行，则m，n与α成的角一定相等，但反之如果两直线m，n与α成的角相等则不一定平行，所以是必要不充分条件，故选D.解析答案D答案2．(2019·黑龙江大庆模拟)有以下三种说法，其中正确的是()①若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线；②若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a不可能与α平行；③直线a，b满足a∥b，则a平行于经过b的任何平面．A．①②B．①③C．②③D．①答案D答案解析对于①，若直线a与平面α相交，则α内不存在与a平行的直线，是真命题，故①正确；对于②，若直线b∥平面α，直线a与直线b垂直，则直线a可能与α平行，故②错误；对于③，若直线a，b满足a∥b，则直线a与直线b可能共面，故③错误．故选D.解析3．(2018·山东泰安模拟)有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是()A．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥nC．m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥nD．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n答案A答案解析对于A，由m⊥α，n∥β，且α∥β得m⊥n，故正确；对于B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β得m⊥n，故错误；对于C，由m∥α，n⊥β，且α⊥β，得m∥n或m，n相交或异面，故错误；对于D，由m∥α，n∥β，且α∥β得m，n的关系可以是相交或平行或异面，故错误．故选A.解析4．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0B．1C．2D．3解析解法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，并且相交或异面时不一定垂直，所以①②错误，③显然成立．解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．故选B.解析答案B答案5．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D答案解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．故选D.解析6．(2019·泉州模拟)设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是()A．存在唯一直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案C答案解析a，b是互不垂直的两条异面直线，把它放入正方体中如图，由图可知A不正确；由l∥a，且l⊥b，可得a⊥b，与题设矛盾，故B不正确；由a⊂α，且b⊥α，可得a⊥b，与题设矛盾，D不正确．故选C.解析7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()答案C答案解析A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交(或RP∥SQ)，即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.解析8．(2019·大连模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段C1D，BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．垂直解析直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．解析答案A答案9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论错误的是()A．A1C1∥平面ABCDB．AC1⊥BDC．AC1与CD成45°角D．A1C1与B1C成60°角答案C答案解析选项A，B，D显然正确，对于选项C，CD∥C1D1，故∠AC1D1为AC1与CD所成角，易得tan∠AC1D1＝2≠1，C错误．故选C.解析10．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中()A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案D答案解析将展开图还原，得如图所示正方体，易知AB与CD是异面直线，且它们所成的角为60°.故选D.解析11．(2019·天津模拟)如图所示，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.给出以下说法：①直线MN⊂平面PQR；②点K在直线MN上；③M，N，K，A四点共面．其中说法正确的是________．答案①②③答案解析由题意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP，从而点M，N，K∈平面PQR.所以直线MN⊂平面PQR，故①正确．同理可得点M，N，K∈平面BCD.从而点M，N，K在平面PQR与平面BCD的交线上，即点K在直线MN上，故②正确．因为A∉直线MN，从而点M，N，K，A四点共面，故③正确．解析12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④答案解析将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)－DEF，如图．对于①，G，H分别为DE，BE的中点，则GH∥AD，而AD与EF异面，故GH与EF不平行，故①错误；对于②，BD与MN为异面直线，正确(假设BD与MN共面，则A，D，E，F四点共面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD与MN异面)；对于③，依题意，GH∥AD，MN∥AF，解析∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故③正确；对于④，连接GF，A点在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故④正确．综上所述，正确命题的序号是②③④.解析13．下列如图所示的正方体和正四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________(填所有满足条件图形的序号)．答案①②③答案解析易知①③中PS∥QR，所以四点共面．在②中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观察知点S在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.解析14.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案78答案解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝2.解析在Rt△CKN中，CK＝22＋12＝3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝22＋222－322×2×22＝78，所以异面直线AN，CM所成的角的余弦值是78.解析15．如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．解(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，∴AE与PB是异面直线．答案(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝2＋2－32×2×2＝14，∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为14.答案(3)因为E是PC的中点，所以E到平面ABC的距离为12PA＝1，VA－EBC＝VE－ABC＝13×12×2×3×1＝33.答案16．(2019·黄石市第三中学月考)如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE.又M为OA中点，所以ME∥OC，答案则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，因为(2)2＋(3)2＝(5)2，所以△DEM为直角三角形，所以tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.所以异面直线OC与MD所成角的正切值为63.答案17．(2019·邯郸一中模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，A1在底面ABC内的射影O为底面△ABC的中心，如图所示．(1)连接BC1，求异面直线AA1与BC1所成角的大小；(2)连接A1C，A1B，求三棱锥C1－BCA1的体积．解(1)连接AO，并延长与BC交于点D，则D是BC边的中点．∵点O是正△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，∴BC⊥AD，BC⊥A1O.∵AD∩A1O＝O，∴BC⊥平面ADA1.∴BC⊥AA1.又AA1∥CC1，∴异面直线AA1与BC1所成的角为∠BC1C或其补角．∵CC1⊥BC，即四边形BCC1B1为正方形，∴异面直线AA1与BC1所成角的大小为π4.答案(2)∵三棱柱的所有棱长都为2，∴可求得AD＝3，AO＝23AD＝233，A1O＝AA21－AO2＝263.∴VABC－A1B1C1＝S△ABC·A1O＝22，VA1－B1C1CB＝VABC－A1B1C1－VA1－ABC＝423.∴VC1－BCA1＝VA1－BCC1＝12VA1－BCC1B1＝223.答案