2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件课

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断___________的陈述句叫做命题．其中判断为________的语句叫做真命题，判断为________的语句叫做假命题．真假真假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有___________的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__________．相同没有关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果p⇒q，但⇒/p，则p是q的充分不必要条件；③如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④如果q⇒p，且p⇒/q，则p是q的必要不充分条件；⑤如果p⇒/q，且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[提醒]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．(2)充分条件与必要条件的两个特征①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．②传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则¬q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋cb＋c，则abD．若ab，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(教材习题改编)“x1”是“x2＋2x0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x2＋2x0，得x0或x－2，所以“x1”是“x2＋2x0”的充分不必要条件，故选A.设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：把命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0(教材习题改编)命题p：x2＝3x＋4，命题q：x＝3x＋4，则p是q的________条件．解析：当x2＝3x＋4时，x＝－1或4，当x＝－1时，x＝3x＋4不成立，即p⇒/q.当x＝3x＋4时，x≥0，3x＋4≥0，则x2＝3x＋4，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分[典例引领](1)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0四种命题的相互关系及其真假判断(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】(1)“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．【答案】(1)D(2)C(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[通关练习]1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B.依题意，得原命题的逆命题为：若一个数的平方是正数，则它是负数．2．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.[典例引领](1)(2018·高考北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的判断(2)(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x－1212”是“x31”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.(2)由x－1212，得0x1，所以0x31；由x31，得x1，不能推出0x1.所以“x－1212”是“x31”的充分而不必要条件．故选A.(1)充分条件、必要条件的判断方法①利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．②从集合的角度判断：利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．③利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．(2)判断充要条件需注意三点①要分清条件与结论分别是什么．②要从充分性、必要性两个方面进行判断．③直接判断比较困难时，可举出反例说明．[通关练习]1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为由“a＝3”可以推出“A⊆B”，反过来，由A⊆B可以得到“a＝3或a＝2”，不一定推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．(2019·湖南省湘中名校高三联考)“log2(2x－3)1”是“4x8”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由log2(2x－3)1⇒02x－32⇒32x52，4x8⇒2x3⇒x32，所以“log2(2x－3)1”是“4x8”的充分不必要条件，故选A.3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.法一：设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，显然CD，所以BA，于是“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．法二：(等价转化法)x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy⇒/x＝y.[典例引领]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．充分条件、必要条件的应用【解】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.又因为集合S非空，则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．1.若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以1－m＝－2，1＋m＝10，所以m＝3，m＝9，即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．2.本例条件不变，若“x∈¬P”是“x∈¬S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由本例知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈¬P”是“x∈¬S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒/P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10.所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．根据充要条件求解参数范围的方法(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[通关练习]1．若“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，则a的最小值为________．解析：由x2－x－60，解得x－2或x3.因为“x2－x－60”是“xa”的必要不充分条件，所以{x|xa}是{x|x－2或x3}的真子集，即a≥3，故a的最小值为3.答案：32．已知集合A＝{x|122x8，x∈R}，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析：因为A＝{x|122x8，x∈R}＝{x|－1x3}，所以由已知x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，得AB，所以m＋13，即m2.答案：(2，＋∞)四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题、否命题不一定为真，但它的逆否命题一定为真，即互为逆否命题的两个命题是等价命题，具有相同的真假性，但互为逆命题或互为否命题的两个命题真假性没有关系．因此一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于()小于()是否定词语不等于(≠)不大于不小于不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{p(x)}，B＝{q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若A⊇B，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若AB，则p是q的充分不必要条件．(5)若AB，则p是q的必要不充分条件．(6)若A⊆/B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．易错防范(1)否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论