2020版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 2 第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件第一章集合与常用逻辑用语1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断________的陈述句叫做命题．其中判断为_______的语句叫做真命题，判断为_______的语句叫做假命题．真假真假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．相同没有关系3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的_______条件，q是p的_______条件p是q的______________条件p⇒q且⇒/pp是q的______________条件p⇒/q且q⇒pp是q的_______条件p⇔qp是q的_____________________条件p⇒/q且q⇒/p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要[注意]不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．常用知识拓展1．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”．(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件，即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”)．2．一些常见词语及其否定词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－30”是命题．()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．()(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(5)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√命题“若ab，则a＋cb＋c”的否命题是()A．若a≤b，则a＋c≤b＋cB．若a＋c≤b＋c，则a≤bC．若a＋cb＋c，则abD．若ab，则a＋c≤b＋c解析：选A.命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.(2018·高考天津卷)设x∈R，则“x38”是“|x|2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由x38可得x2，由|x|2可得x2或x－2，故“x38”是“|x|2”的充分而不必要条件．故选A.设m∈R，命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是________．解析：把命题“若m0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的条件与结论“换位”又“换质”得到逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0已知p：a0，q：a2a，则﹁p是﹁q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：﹁p：a≥0；﹁q：a2≤a，即0≤a≤1，故﹁p是﹁q的必要不充分条件．答案：必要不充分(1)(2019·长春质量检测(二))命题“若x21，则－1x1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1x1，则x21C．若x1或x－1，则x21D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1四种命题的相互关系及其真假判断(师生共研)(2)(2019·广东中山一中第二次统测)下列命题中为真命题的是()A．命题“若xy，则x|y|”的逆命题B．命题“若x1，则x21”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x20，则x1”的逆否命题【解析】(1)命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题为“若﹁q，则﹁p”的形式，所以“若x21，则－1x1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.(2)命题“若xy，则x|y|”的逆命题为“若x|y|，则xy”，是真命题，故A正确；命题“若x1，则x21”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，是假命题，故B错误；命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，故C错误；命题“若x20，则x1”的逆否命题为“若x≤1，则x2≤0”，是假命题，故D错误，选A.【答案】(1)D(2)A(1)判断命题真假的两种方法(2)由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0解析：选D.“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.2．已知集合P＝x|x＝k＋12，k∈Z，Q＝{x|x＝k2，k∈Z}，记原命题：“若x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0B．1C．2D．4解析：选C.因为P＝x|x＝k＋12，k∈Z＝x|x＝2k＋12，k∈Z，Q＝x|x＝k2，k∈Z，所以PQ，所以原命题“若x∈P，则x∈Q”为真命题，则原命题的逆否命题为真命题．原命题的逆命题“若x∈Q，则x∈P”为假命题，则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.(1)(2019·高考天津卷)设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x－1|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的判断(师生共研)(2)(2019·高考北京卷)设函数f(x)＝cosx＋bsinx(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)由|x－1|1，解得0x2，(0，2)(0，5)，故“0x5”是“|x－1|1”的必要而不充分条件．故选B.(2)b＝0时，f(x)＝cosx，显然f(x)是偶函数，故“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分条件；f(x)是偶函数，则有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，又cos(－x)＝cosx，sin(－x)＝－sinx，所以cosx－bsinx＝cosx＋bsinx，则2bsinx＝0对任意x∈R恒成立，得b＝0，因为“b＝0”是“f(x)是偶函数”的必要条件．因此“b＝0”是“f(x)是偶函数”的充分必要条件，故选C.【答案】(1)B(2)C充分条件、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．(2)集合法：根据p，q成立的对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：适用于“不易直接正面判断”的情况，可将命题转化为另一个等价的又易于判断真假的命题，再去判断．常用的是逆否等价法，如下：①﹁q是﹁p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②﹁q是﹁p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③﹁q是﹁p的充要条件⇔p是q的充要条件；④﹁q是﹁p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件．1．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由A⊆C，B⊆∁UC，易知A∩B＝∅，但A∩B＝∅时未必有A⊆C，B⊆∁UC，如图所示，所以“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．2．(2019·重庆市学业质量调研)p：(2－x)(x＋1)0；q：0≤x≤1，则p成立是q成立的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若p成立，则x满足－1x2，则p成立是q成立的必要不充分条件，故选A.3．已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以﹁p：x＋y＝－2，﹁q：x＝－1且y＝－1，因为﹁q⇒﹁p但﹁p⇒/﹁q，所以﹁q是﹁p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．故选A.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，求m的取值范围．充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【解】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊆P.则1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，所以0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，即所求m的取值范围是[0，3]．[迁移探究1](变结论)若本例条件不变，问是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．解：若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，所以1－m＝－2，1＋m＝10，所以m＝3，m＝9，即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件．[迁移探究2](变结论)本例条件不变，若“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，因为“x∈﹁P”是“x∈﹁S”的必要不充分条件，所以P⇒S且S⇒/P.所以[－2，10][1－m，1＋m]．所以1－m≤－2，1＋m＞10或1－m－2，1＋m≥10.所以m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．根据充分条件、必要条件求解参数范围的方法把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．[注意]在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．已知p：－4x－a4，q：(x－2)(x－3)0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为()A．－1a6B．－1≤a≤6C．a－1或a6D．a≤－1或a≥6解析：选B.设q，p表示的范围分别为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a－4，a＋4)．因为q是p的充分条件，则有A⊆B，即a－4≤2，a＋4≥3，所以－1≤a≤6.等价转化思想在充要条件中的应用等价转化是一种重要的数学思想，体现了“把未知问题化归到已有知识范围内求解”的求解策略．对于一个难以入手的命题，可以把命题转化为易于解决的等价命题，每一个等价命题都能提供一种解题思路．已知p：1－x－14≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m0)，且﹁p是﹁q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解】因为﹁p是﹁q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件．由q：1－m≤x≤1＋m，则q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，m0}．由1－x－14≤2，解得－3≤x≤13，所以p：P＝{x|－3≤x≤13}．因为p是q的充分不必要条件，则PQ，所以m0，1－m－3，1＋m≥13或m0，1－m≤－3，1＋m13，所以m≥12.故实数m的取值范围为[12，＋∞)．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充分、必要条件问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是解此类问题的关键．1．如果x，y是实数，那么