2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示课件 理 新人教A

第2讲平面向量基本定理及坐标表示第五章平面向量1．平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝___________．(2)基底：________的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．不共线λ1e1＋λ2e2不共线2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_______________，a－b＝________________，λa＝___________，|a|＝___________．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝_______________，|AB→|＝___________________________．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(x2－x1，y2－y1)（x2－x1）2＋（y2－y1）23．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔________________．x1y2－x2y1＝0[提醒]当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x1x2＝y1y2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．()(2)在△ABC中，向量AB→，BC→的夹角为∠ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．()(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.()(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(教材习题改编)已知向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝()A．(－3，4)B．(3，4)C．(3，－4)D．(－3，－4)解析：选A.由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A．(－7，－4)B．(7，4)C．(－1，4)D．(1，4)解析：选A.法一：设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：AB→＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.(2017·高考山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________．解析：因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.答案：－3在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝________(用a，b表示)．解析：因为AN→＝3NC→，所以AN→＝34AC→＝34(a＋b)，又因为AM→＝a＋12b，所以MN→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.答案：－14a＋14b[典例引领](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→平面向量基本定理及其应用(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则实数t的值为________．【解析】(1)法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.(2)因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，所以2AP→＝PB→.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设AM→＝λAQ→.所以CM→＝AM→－AC→＝λAQ→－AC→＝λ12AB→＋12AC→－AC→＝λ2AB→＋λ－22AC→，又CM→＝tCP→＝t(AP→－AC→)＝t13AB→－AC→＝t3AB→－tAC→.故λ2＝t3，λ－22＝－t，解得t＝34，λ＝12.故t的值是34.【答案】(1)A(2)341．在本例(2)中，试用向量AB→，AC→表示CP→.解：因为CP→＝23CA→＋13CB→，所以3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，2AP→＝PB→，所以AP→＝13AB→，CP→＝AP→－AC→＝13AB→－AC→.2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析CM→＝λ2AB→＋λ－22AC→及λ＝12，CB→＝2CQ→知，CM→＝12λ(CB→－CA→)＋2－λ2CA→＝λ2CB→＋(1－λ)CA→＝λCQ→＋(1－λ)CA→＝CQ→＋CA→2.因此点M是AQ的中点．平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．[通关练习]1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ等于()A.15B.25C.35D.45解析：选D.因为AB→＝AN→＋NB→＝AN→＋CN→＝AN→＋(CA→＋AN→)＝2AN→＋CM→＋MA→＝2AN→－14AB→－AM→，所以AB→＝85AN→－45AM→，所以λ＝－45，μ＝85，所以λ＋μ＝45.2．如图，在△ABC中，设AB→＝a，AC→＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP→＝()A.12a＋12bB.13a＋23bC.27a＋47bD.47a＋27b解析：选C.如图，连接BP，则AP→＝AC→＋CP→＝b＋PR→，①AP→＝AB→＋BP→＝a＋RP→－RB→，②①＋②，得2AP→＝a＋b－RB→，③又RB→＝12QB→＝12(AB→－AQ→)＝12a－12AP→，④将④代入③，得2AP→＝a＋b－12a－12AP→，解得AP→＝27a＋47b.[典例引领]已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M、N的坐标及向量MN→的坐标．平面向量的坐标运算【解】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，所以－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.(3)设O为坐标原点，因为CM→＝OM→－OC→＝3c，所以OM→＝3c＋OC→＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M(0，20)．又因为CN→＝ON→－OC→＝－2b，所以ON→＝－2b＋OC→＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N(9，2)．所以MN→＝(9，－18)．向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝0，52，则c可用向量a，b表示为()A．c＝12a＋bB．c＝－12a－bC．c＝32a＋12bD．c＝32a－12b解析：选A.设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，所以2x－y＝0，x＋2y＝52，解得x＝12，y＝1，则c＝12a＋b.平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：(1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线求向量坐标；(3)三点共线问题．平面向量共线的坐标表示(高频考点)[典例引领]角度一利用两向量共线求参数(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．【解析】2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝12.【答案】12角度二利用两向量共线求向量坐标已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．【解析】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以DC→＝2AB→.设点D的坐标为(x，y)，则DC→＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，AB→＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2，4)．【答案】(2，4)角度三三点共线问题已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B.43C.12D.13【解析】AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以AB→，AC→共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.【答案】A(1)向量共线的两种表示形式设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．[通关练习]1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2