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第3讲平面向量的数量积及应用举例第五章平面向量1.平面向量的数量积定义设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量_____________叫做a与b的数量积,记作a·b投影____________叫做向量a在b方向上的投影,____________叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影____________的乘积[注意]投影和两向量的数量积都是数量,不是向量.|a||b|·cosθ|a|cosθ|b|cosθ|b|cosθ2.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b,作OA→=a,OB→=b,则________就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是____________若θ=0°,则a与b_______;若θ=180°,则a与b_________;若θ=90°,则a与b_________∠AOB0°≤θ≤180°同向反向垂直3.向量数量积的运算律(1)a·b=_________.(2)(λa)·b=λ(a·b)=_________.(3)(a+b)·c=____________.b·aa·c+b·ca·(λb)4.平面向量数量积的坐标运算及有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,a·b=x1x2+y1y2.结论几何表示坐标表示模|a|=_________|a|=_________夹角cosθ=_________cosθ=______________a⊥b的充要条件________________________a·ax21+y21a·b|a||b|x1x2+y1y2x21+y21x22+y22a·b=0x1x2+y1y2=0判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.()(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()(3)由a·b=0可得a=0或b=0.()(4)(a·b)c=a(b·c).()(5)两个向量的夹角的范围是0,π2.()(6)若a·b0,则a和b的夹角为锐角;若a·b0,则a和b的夹角为钝角.()答案:(1)√(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=()A.4B.3C.2D.0解析:选B.a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.已知a·b=-122,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为()A.12B.6C.33D.3解析:选B.a·b=|a||b|cos135°=-122,所以|b|=-1224×-22=6.(2018·高考北京卷)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=____________.解析:由题意得,ma-b=(m+1,-m),根据向量垂直的充要条件可得1×(m+1)+0×(-m)=0,所以m=-1.答案:-1已知向量a,b满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角θ为________.解析:因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,所以6a·b-8+5=0,即a·b=12.又a·b=|a||b|cosθ=cosθ,所以cosθ=12.因为θ∈[0,π],所以θ=π3.答案:π3(1)(2019·河南漯河高级中学模拟)已知向量a=(-2,m),b=(1,2),若向量a在向量b方向上的投影为2,则实数m=()A.-4B.-6C.4D.5+1平面向量数量积的运算(师生共研)(2)(一题多解)(2019·福州市质量检测)在边长为3的等边三角形ABC中,点M满足BM→=2MA→,则CM→·CA→=()A.32B.23C.6D.152【解析】(1)由题意可得a·b=-2+2m,且|b|=12+22=5,则向量a在向量b方向上的投影为a·b|b|=-2+2m5=2,解得m=5+1.故选D.(2)解析:选D.法一:依题意,得CM→·CA→=13CB→+23CA→·CA→=13CB→·CA→+23CA→·CA→=13×3×3×12+23×3×3=152,故选D.法二:依题意,以C为原点,CA→的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),M52,32,所以CM→·CA→=52,32·(3,0)=152,故选D.法三:过点M作MD⊥AC于D,如图所示,则CM→·CA→=|CD→|·|CA→|=(3-1×cos60°)×3=152,故选D.【答案】(1)D(2)D计算向量数量积的三个方法(1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即a·b=|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角).(2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.(3)坐标法:若向量选择坐标形式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.1.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于()A.-72B.-12C.32D.52解析:选D.a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-12,所以a·b=-1×-12+2×1=52.2.(一题多解)(2019·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中,|AB→|=8,|AD→|=6,N为DC的中点,BM→=2MC→,则AM→·NM→=()A.48B.36C.24D.12解析:选C.法一:AM→·NM→=(AB→+BM→)·(NC→+CM→)=AB→+23AD→·12AB→-13AD→=12AB→2-29AD→2=12×82-29×62=24.法二(特例图形):若▱ABCD为矩形,建立如图所示坐标系,则N(4,6),M(8,4).所以AM→=(8,4),NM→=(4,-2),所以AM→·NM→=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.3.已知锐角三角形ABC,|AB→|=|AC→|=2,BD→=2CD→,则AD→·BC→的取值范围是________.解析:因为BD→=2CD→,所以AD→-AB→=2(AD→-AC→),则AD→=2AC→-AB→,于是AD→·BC→=(2AC→-AB→)·(AC→-AB→)=2AC→2+AB→2-3AC→·AB→,即AD→·BC→=2×4+4-3×4cosθ=12(1-cosθ)(θ为AB→,AC→的夹角),因为△ABC是锐角三角形,所以θ∈0,π2,于是12(1-cosθ)∈(0,12),即AD→·BC→的取值范围是(0,12).答案:(0,12)角度一求两平面向量的夹角(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6平面向量数量积的应用(多维探究)(2)(2019·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a,b的夹角为π3,且|a|=1,|b|=12,则a+2b与b的夹角是()A.π6B.5π6C.π4D.3π4【解析】(1)解析:选B.法一:由题意得,(a-b)·b=0⇒a·b=|b|2,所以|a||b|·cosa,b=|b|2,因为|a|=2|b|,所以2|b|2cosa,b=|b|2⇒cosa,b=12,所以a,b=π3,故选B.法二:如图,设OA→=a,OB→=b,则BA→=a-b,所以B=π2,|OA→|=2|OB→|,所以∠AOB=π3,即a,b=π3.(2)因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+1+4×1×12×cosπ3=3,所以|a+2b|=3,又(a+2b)·b=a·b+2|b|2=1×12×cosπ3+2×14=14+12=34,所以cos〈a+2b,b〉=(a+2b)·b|a+2b||b|=343×12=32,又〈a+2b,b〉∈[0,π],所以a+2b与b的夹角为π6.【答案】(1)B(2)A角度二求平面向量的模已知平面向量a,b的夹角为π6,且|a|=3,|b|=2,在△ABC中,AB→=2a+2b,AC→=2a-6b,D为BC中点,则|AD→|等于()A.2B.4C.6D.8【解析】因为AD→=12(AB→+AC→)=12(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|AD→|2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=4×3-2×2×3×cosπ6+4=4,则|AD→|=2.【答案】A角度三两平面向量垂直问题已知向量AB→与AC→的夹角为120°,且|AB→|=3,|AC→|=2.若AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→,则实数λ的值为________.【解析】因为AP→⊥BC→,所以AP→·BC→=0.又AP→=λAB→+AC→,BC→=AC→-AB→,所以(λAB→+AC→)·(AC→-AB→)=0,即(λ-1)AC→·AB→-λAB→2+AC→2=0,所以(λ-1)|AC→||AB→|cos120°-9λ+4=0.所以(λ-1)×3×2×(-12)-9λ+4=0.解得λ=712.【答案】712平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角:cosθ=a·b|a||b|,要注意θ∈[0,π].(2)两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:①a2=a·a=|a|2或|a|=a·a;②|a±b|=(a±b)2=a2±2a·b+b2;③若a=(x,y),则|a|=x2+y2.1.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(3,2),则|a+2b|=()A.22B.25C.17D.15解析:选C.因为a-b=(3,2),所以|a-b|=5,所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=5-2a·b=5,则a·b=0,所以|a+2b|2=|a|2+4a·b+4|b|2=17,所以|a+2b|=17.故选C.2.已知在四边形ABCD中,AB→+CD→=0,(AB→-AD→)·AC→=0,则四边形ABCD是()A.矩形B.正方形C.菱形D.梯形解析:选C.因为AB→+CD→=0,所以AB→=-CD→=DC→,所以四边形ABCD是平行四边形.又(AB→-AD→)·AC→=DB→·AC→=0,所以四边形的对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.3.(一题多解)(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),记向量a,b的夹角为θ,则tanθ=________.解析:法一:因为|a|=1,|b|=2,a+b=(1,3),所以(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=5+2a·b=1+3,所以a·b=-12,所以cosθ=a·b|a|·|b|=-14,又θ∈[0,π],所以sinθ=1--142=154,所以tanθ=sinθcosθ=-15.法二:因为a+b=(1,3),所以|a+b|=1+3=2,记OA→=a,AB→=b,则OB→=a+b,由题意知|AB→|=|OB→|=2,|OA→|=1,θ=π-∠OAB,所以在等腰三角形OBA中,tan∠OAB=22-12212=15,所以tanθ=-tan∠OAB=-15.答案:-15(2017·高考江苏卷)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-3),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.向量数量积的综合应用(师生共研)【解】(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-3),a∥b,所以-3cosx=3sinx.若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx≠0.于是tan
本文标题:2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 3 第3讲 平面向量的数量积及应用举例课件 文 新人
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