2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 9 第7讲 正弦定理和余弦定理（第2课时）

第2课时正、余弦定理的综合问题第四章三角函数、解三角形角度一计算三角形的面积(2017·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．与三角形面积有关的问题(多维探究)【解】(1)由已知可得tanA＝－3，所以A＝2π3.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos2π3，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝π2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB·AD·sinπ612AC·AD＝1.又△ABC的面积为12×4×2sin∠BAC＝23，所以△ABD的面积为3.角度二已知三角形的面积解三角形(2019·贵阳第一学期检测)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝4，asinB＝3bcosA，若△ABC的面积S＝43，则b＋c＝________．【解析】由正弦定理，得sinAsinB＝3sinBcosA，又sinB≠0，所以tanA＝3，所以A＝π3，由余弦定理得，16＝b2＋c2－bc，S＝12bc×32＝43，所以b＋c＝8.【答案】8(1)求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．(2)已知三角形面积求边、角的方法①若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；②若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．[注意]正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函数公式的工具性作用．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3acosB＝bcosC＋ccosB，△ABC的面积S＝22.(1)求cosB；(2)若b＝3，且ac，求a和c.解：(1)由正弦定理，得3sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sinA．因为△ABC中A≠0且A≠π，所以sinA≠0，所以cosB＝13.(2)由(1)可知sinB＝223.因为S△ABC＝12acsinB＝22，所以ac＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB，所以9＝(a＋c)2－16，所以a＋c＝5.又因为ac＝6，ac，所以a＝3，c＝2.(2019·合肥第一次教学质量检测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a－2b)cosC＋ccosA＝0.(1)求角C；(2)若c＝23，求△ABC周长的最大值．三角形面积或周长的最值(范围)问题(典例迁移)【解】(1)根据正弦定理，由已知得(sinA－2sinB)cosC＋sinCcosA＝0，即sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosC，所以sin(A＋C)＝2sinBcosC，因为A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB0，所以sinB＝2sinBcosC，所以cosC＝12.因为C∈(0，π)，所以C＝π3.(2)由(1)及余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，又c＝23，所以a2＋b2－12＝ab，所以(a＋b)2－12＝3ab≤3a＋b22，即(a＋b)2≤48(当且仅当a＝b＝23时等号成立)．所以△ABC周长的最大值为63.[迁移探究1](变结论)在本例(2)条件下，求△ABC面积的最大值．解：由本例解析知a2＋b2－12＝ab，所以12＋ab＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤12(当且仅当a＝b＝23时等号成立)，所以△ABC面积的最大值为33.[迁移探究2](变条件)本例(2)条件变为：设CD为AB边上的高，c＝3，求CD的取值范围．解：因为S△ABC＝12CD·AB＝12absinC，所以CD＝12ab.由余弦定理得cosC＝12＝a2＋b2－c22ab≥2ab－32ab，所以0ab≤3(当且仅当a＝b时等号成立)，所以0CD≤32.求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题在解决求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题时，一般将其转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)证明：由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.(2019·湘东五校联考)已知函数f(x)＝32sin2x－cos2x－12.(1)求f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．解三角形与三角函数的综合应用(师生共研)【解】(1)f(x)＝32sin2x－1＋cos2x2－12＝32sin2x－cos2x2－1＝sin2x－π6－1.当2x－π6＝2kπ－π2，即x＝kπ－π6(k∈Z)时，f(x)的最小值为－2，此时自变量x的集合为x|x＝kπ－π6，k∈Z或写成x|x＝kπ＋5π6，k∈Z.(2)因为f(C)＝0，所以sin2C－π6－1＝0，又0Cπ，所以2C－π6＝π2，即C＝π3.在△ABC中，sinB＝2sinA，由正弦定理知b＝2a，又c＝3，所以由余弦定理知(3)2＝a2＋b2－2abcosπ3，即a2＋b2－ab＝3，联立，得a2＋b2－ab＝3，b＝2a，所以a＝1，b＝2.标注条件，合理建模解决三角函数的应用问题，无论是实际应用问题还是三角函数与解三角形相结合的问题，关键是准确找出题中的条件并在三角形中进行准确标注，然后根据条件和所求建立相应的数学模型，转化为可利用正弦定理或余弦定理解决的问题．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝66b，sinB＝6sinC.(1)求cosA的值；(2)求cos2A－π6的值．解：(1)在△ABC中，由bsinB＝csinC及sinB＝6sinC，可得b＝6c，又由a－c＝66b，得a＝2c，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝6c2＋c2－4c226c2＝64.(2)在△ABC中，由cosA＝64，可得sinA＝104.于是，cos2A＝2cos2A－1＝－14，sin2A＝2sinA·cosA＝154.所以cos2A－π6＝cos2Acosπ6＋sin2Asinπ6＝－14×32＋154×12＝15－38.