2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 3 第3讲 圆的方程课件 文 新人教A版

第3讲圆的方程第九章平面解析几何1．圆的方程标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)圆心_______半径为_______一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0条件：______________圆心：____________半径：_________________(a，b)rD2＋E2－4F0－D2，－E2r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2.＞＝＜判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF0.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析：选D.圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A．14m1B．m14或m1C．m14D．m1解析：选B.由(4m)2＋4－4×5m0，得m14或m1.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1，1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)24，所以－1a1.答案：(－1，1)(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1，1)，B(1，3)，则圆C的方程为________．解析：因为点A(－1，1)和B(1，3)为圆C直径的两个端点，则圆心C的坐标为(0，2)，半径|CA|＝（2－1）2＋1＝2，所以圆C的方程为x2＋(y－2)2＝2.答案：x2＋(y－2)2＝2(1)圆心在x轴上，半径长为2，且过点A(2，1)的圆的方程是()A．(x－2－3)2＋y2＝4B．(x－2＋3)2＋y2＝4C．(x－2±3)2＋y2＝4D．(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)(一题多解)(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．求圆的方程(师生共研)【解析】(1)根据题意可设圆的方程为(x－a)2＋y2＝4，因为圆过点A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±3，所以所求圆的方程为(x－2±3)2＋y2＝4.(2)法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)，则F＝0，1＋1＋D＋E＋F＝0，4＋2D＋F＝0，解得D＝－2，E＝0，F＝0，即圆的方程为x2＋y2－2x＝0.法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则a2＋b2＝r2，①（1－a）2＋（1－b）2＝r2，（2－a）2＋b2＝r2，③②由①－③，得a＝1，代入②，得(1－b)2＝r2，结合①，得b＝0，所以r2＝1，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.法三：记A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，连接AB，由圆过点A(0，0)，B(2，0)，知AB的垂直平分线x＝1必过圆心．连接BC，又圆过点C(1，1)，BC的中点为32，12，BC所在直线的斜率kBC＝－1，所以BC的垂直平分线为直线y＝x－1，联立，得y＝x－1，x＝1，得圆心的坐标为(1，0)，半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.【答案】(1)C(2)x2＋y2－2x＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析：选C.由题知直线AB的垂直平分线为y＝x，直线y＝x与x＋y－2＝0的交点是(1，1)，所以圆的圆心为(1，1)，圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.2．(2019·河北省九校第二次联考)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.(一题多解)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值．与圆有关的最值问题(典例迁移)【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3(如图所示)．所以yx的最大值为3，最小值为－3.(2)法一：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.法二：由x2＋y2－4x＋1＝0，得(x－2)2＋y2＝3.设x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，则x2＋y2＝(2＋3cosθ)2＋(3sinθ)2＝7＋43cosθ.所以当cosθ＝－1时，(x2＋y2)min＝7－43，当cosθ＝1时，(x2＋y2)max＝7＋43.[迁移探究1](变问法)在本例条件下，求y－3x＋1的最大值和最小值．解：y－3x＋1的几何意义是圆上一动点P(x，y)与定点A(－1，3)连线的斜率．所以设y－3x＋1＝k即y＝kx＋k＋3.当直线y＝kx＋k＋3与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值．此时，|2k＋k＋3|k2＋1＝3，解得k＝0或k＝－3(如图所示)．所以y－3x＋1的最大值为0，最小值为－3[迁移探究2](变问法)在本例条件下，求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6(如图所示)．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.求解与圆有关的最值问题的方法1．(2019·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA→·PB→的最大值为________．解析：由题意，知PA→＝(2－x，－y)，PB→＝(－2－x，－y)，所以PA→·PB→＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA→·PB→＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，PA→·PB→的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：122．设点P是函数y＝－4－（x－1）2图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．解析：函数y＝－4－（x－1）2的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝52，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2.答案：5－2已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．与圆有关的轨迹问题(师生共研)【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．解：(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝yx＋1，kBC＝yx－3，所以yx＋1·yx－3＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．