2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 2 第2讲 空间几何体的表面积与体积课件 文 新人教

第2讲空间几何体的表面积与体积第八章立体几何1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及其侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_______S圆锥侧＝______S圆台侧＝_________2πrlπrlπ(r＋r′)l2.空间几何体的表面积与体积公式表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝______锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝______台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝______V＝______S底h13S底h43πR34πR2常用知识拓展1．正方体的棱长为a，外接球的半径为R，内切球的半径为r.(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a.(2)若球为正方体的内切球，则2r＝a.(3)若球与正方体的各棱相切，则2R′＝2a.2．长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．()(2)锥体的体积等于底面积与高之积．()(3)球的体积之比等于半径比的平方．()(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．()(5)长方体既有外接球又有内切球．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×以长为a，宽为b的矩形的一边所在的直线为轴旋转一周所得圆柱的侧面积为()A．abB．πabC．2πabD．2ab解析：选C.若以长边所在的直线为轴旋转，则S侧＝2πab，若以短边所在的直线为轴旋转，则S侧＝2πba.所以S圆柱侧＝2πab，故选C.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8cm3B．12cm3C.323cm3D.403cm3解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2cm，高为2cm的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323(cm3)．(2018·高考天津卷)如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为____________．解析：法一：连接A1C1交B1D1于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E为四棱锥A1­BB1D1D的高，且A1E＝22，矩形BB1D1D的长和宽分别为2，1，故VA1­BB1D1D＝13×1×2×22＝13.法二：连接BD1，则四棱锥A1­BB1D1D分成两个三棱锥B­A1DD1与B­A1B1D1，VA1­BB1D1D＝VB­A1DD1＋VB­A1B1D1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13.答案：13(2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R，则有2R＝14，R＝142，因此球O的表面积等于4πR2＝14π.答案：14π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A．122πB．12πC．82πD．10π(2)(2019·沈阳质量检测(一))某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是()A．4＋42B．42＋2C．8＋42D.83【解析】(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P­ABCD，如图所示，其中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝22，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和，即S＝2×12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A.【答案】(1)B(2)A空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积问题应注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用．1．(2019·湖南五市联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是()A．20＋45B．12＋45C．20＋25D．12＋25解析：选A.由三视图知该几何体是一个直三棱柱，底面是直角边分别为4，2的直角三角形，高为2，所以该几何体的表面积是(2＋4＋22＋42)×2＋2×12×2×4＝20＋45，故选A.2．(2019·唐山市摸底考试)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A．1－π4B．3＋π2C．2＋π4D．4解析：选D.由题设知，该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积S＝2×1×1－14×π×12＋2×(1×1)＋14×2π×1×1＝4.故选D.角度一求简单几何体的体积(1)(一题多解)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π空间几何体的体积(多维探究)(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为____________．【解析】(1)法一(补形法)：如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.法二(估值法)：由题意，知12V圆柱V几何体V圆柱．又V圆柱＝π×32×10＝90π，所以45πV几何体90π.观察选项可知只有63π符合．【解析】(2)如图，过点P分别作PE⊥BC交BC于点E，作PF⊥AC交AC于点F.由题意知PE＝PF＝3.过P作PH⊥平面ABC于点H，连接HE，HF，HC，易知HE＝HF，则点H在∠ACB的平分线上，又∠ACB＝90°，故△CEH为等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝3，则CE＝1，故CH＝2，在Rt△PCH中，可得PH＝2，即点P到平面ABC的距离为2.【答案】(1)B(2)2角度二求组合体的体积(2019·福州市质量检测)如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()A.π12＋3B.π12＋6C.π3＋3D.π3＋6【解析】由三视图可知，该几何体是由直四棱柱与圆锥拼接而成的简单组合体，如图所示．由题设得，V四棱柱＝12×(1＋2)×2×1＝3，V圆锥＝13π122×1＝π12，所以该几何体的体积V＝V四棱柱＋V圆锥＝3＋π12.故选A.【答案】A求空间几何体的体积的常用方法1．(2019·高考全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为____________g.解析：长方体ABCD­A1B1C1D1的体积V1＝6×6×4＝144(cm3)，而四棱锥O­EFGH的底面积为矩形BB1C1C的面积的一半，高为AB长的一半，所以四棱锥O­EFGH的体积V2＝13×12×4×6×3＝12(cm3)，所以长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O­EFGH后所得几何体的体积V＝V1－V2＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．答案：118.82.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则几何体的体积为____________．解析：过C作平行于平面A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°，则V＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6.答案：6(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π2D.π4球与空间几何体的接、切问题(师生共研)(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．123B．183C．243D．543【解析】(1)设圆柱的底面半径为r，则r2＝12－122＝34，所以，圆柱的体积V＝34π×1＝3π4，故选B.(2)设等边三角形ABC的边长为x，则12x2sin60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r，则2r＝6sin60°，解得r＝23，所以球心到△ABC所在平面的距离d＝42－（23）2＝2，则点D到平面ABC的最大距离d1＝d＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值Vmax＝13S△ABC×6＝13×93×6＝183.【答案】(1)B(2)B处理球的“切”“接”问题的求解策略(1)“切”的处理与球有关的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．正四棱锥P­ABCD的侧棱和底面边长都等于22，则它的外接球的表面积是()A．16πB．12πC．8πD．4π解析：选A.设正四棱锥的外接球半径为R，顶点P在底面上的射影为O，因为OA＝12AC＝12AB2＋BC2＝12（22）2＋（22）2＝2，所以PO＝PA2－OA2＝（22）2－22＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.2．设球O内切于正三棱柱ABC­A1B1C1，则球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C1的体积的比值为________．解析：设球O半径为R，正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为a，则R＝33×a2＝36a，即a＝23R，又正三棱柱ABC­A1B1C1的高为2R，所以球O的体积与正三棱柱ABC­A1B1C1的体积的比值为43πR334a2×2R＝43πR334×12R2×2R＝23π27.答案：23π27直观想象——数学文化与三视图(2019·长春市质量检测(一))《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为()A．4B．5C．6D．12【答案】B【解析】如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF，过E，F分别作垂直于底面的截面EGH和FMN，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱锥E­ADHG＋V三棱柱EHG­FNM＝2×13×3×1＋32×2＝5，故