2020版高考数学大二轮复习 专题一 平面向量、三角函数与解三角形 第二讲 三角函数的图象与性质课件

专题一平面向量、三角函数与解三角形第二讲三角函数的图象与性质考点二考点三考点一目录ONTENTSC4限时规范训练[考情分析·明确方向]1．三角函数的图象与性质是每年高考必考内容．多是选择题或填空题，一般会出现在选择题6～10题位置，填空题14、15题位置，难度中等偏低．2．三角函数的图象与性质主要考查三角函数图象的变换、三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域或最值的求法及应用，有时与向量交汇命题．三角函数的两种常见的图象变换1．(2019·黔东南州一模)将函数f(x)＝cos4x－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD.4π解析：将函数f(x)＝cos4x－π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝cos12×4x－π3＝cos2x－π3，则g(x)的周期T＝2π2＝π，故选B.答案：B2．(2019·涪城区校级模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx－φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则φ的值为()A．－π4B.π4C．－π8D.π8解析：由图知，12T＝15π8－3π8，可得T＝3π＝2πω，又ω0，∴ω＝23.∵23×3π8－φ＝2kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝－π4－2kπ，k∈Z.又|φ|π2，∴k＝0时，可得φ＝－π4.故选A.答案：A3．(2019·济宁一模)将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象，则“φ＝π6”是“g(x)为偶函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后，得到g(x)＝sin2x＋π6＋φ＝sin2x＋π3＋φ，若g(x)是偶函数，则π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，即φ＝π6＋kπ，k∈Z，即“φ＝π6”是“g(x)为偶函数”的充分不必要条件，故选A.答案：A[类题通法]1.三角函数图象平移问题处理的“三看”策略一看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断平移方向的关键点．二看平移方向：平移的方向一般记为“正向左，负向右”，看y＝Asin(ωx＋φ)(ω0)中φ的正负和它的平移要求．三看平移单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后平移的单位是φω.2．函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定A＝最大值－最小值2B由最值确定B＝最大值＋最小值2字母确定途径说明ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πTφ由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上单调递增；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：π2＋kπ，0(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)(一)常规考法1．(2019·大连模拟)函数y＝tan12x＋π3的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD.2π解析：函数y＝tan12x＋π3的最小正周期为π12＝2π，故选D.答案：D2．若函数y＝sin(x＋φ)的一个对称中心为π6，0，则函数y＝cos(x＋φ)的一条对称轴为()A．x＝－π3B.x＝π6C．x＝π4D.x＝π3解析：∵函数y＝sin(x＋φ)的对称中心和y＝cos(x＋φ)的对称轴在一条直线上的，∴若y＝sin(x＋φ)的对称中心为π6，0，则函数y＝cos(x＋φ)的一条对称轴为x＝π6.故选B.答案：B3．(2019·南充模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在x＝π6处取得最小值，则()A．fx＋π6一定是奇函数B．fx＋π6一定是偶函数C．fx－π6一定是奇函数D．fx－π6一定是偶函数解析：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在x＝π6处取得最小值，即函数f(x)关于直线x＝π6对称，将函数f(x)的图象向左平移π6个单位后其图象关于直线x＝0对称，即将函数f(x)的图象向左平移π6个单位后其图象对应的函数fx＋π6为偶函数，故选项B正确，故选B.答案：B4．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B.②④C．①④D.①③解析：①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，①正确．②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.答案：C[类题通法]1.求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．(二)创新考法1．(2019·长春二模)定义在[0，π]上的函数y＝sinωx－π6(ω0)有零点，且值域M⊆－12，＋∞，则ω的取值范围是()A.12，43B.43，2C.16，43D.16，2解析：定义在[0，π]上的函数y＝sinωx－π6(ω0)，ωx－π6∈－π6，ωπ－π6，∵函数有零点，∴ωπ－π6≥0，∴ω≥16.且函数的值域M⊆－12，＋∞，∴ωπ－π6≤7π6，求得ω≤43，则ω的取值范围为16，43，故选C.答案：C2．(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω0，0φπ2，f－π3＝0，f2π3－x＝f(x)，且函数f(x)在区间π12，π4上单调，则ω的最大值为()A.274B.214C.154D.94解析：∵函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω0，0φπ2，f－π3＝3sin－ωπ3＋φ＝0，∴－ωπ3＋φ＝mπ，(m∈Z)①f2π3－x＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝π3对称．ωπ3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．②由①②得：φ＝kπ＋π4，(k∈Z)由于：0φπ2，∴φ＝π4，故f(x)＝3sinωx＋π4，当函数为单调减函数时，π2＋2kπ≤ωx＋π4≤2kπ＋3π2，(k∈Z)整理得2kπω＋π4ω≤x≤2kπω＋5π4ω(k∈Z)由于函数f(x)在区间π12，π4上单调，当k＝0时，故π4ω≤π12，π4≤5π4ω；解得：3≤ω≤5(k∈Z)，只有C选项在3≤ω≤5的范围内．故选C.答案：C[类题通法]求解与三角函数性质有关的参数范围问题注意以下两个策略(1)要有整体思想意识．将ωx＋φ看作整体研究相关的单调性、奇偶性、对称性等．(2)要注意数形结合思想的应用．结合图象建立不等关系是关键．(1)(2019·汕头一模)将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在－π8，3π8上的最大值为()A.12B.22C.32D.1解析：将函数f(x)＝sin2x＋π4的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝sin2x－π3＋π4＝sin2x－5π12，∵x∈－π8，3π8，∴2x∈－π4，3π4，则2x－5π12∈－2π3，π3，∴当2x－5π12＝π3时，g(x)取得最大值，最大值为sinπ3＝32，故选C.答案：C(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：∵f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝－2cos2x－3cosx＋1，令t＝cosx，则t∈[－1,1]，∴y＝－2t2－3t＋1.又函数y＝－2t2－3t＋1的图象的对称轴t＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，y有最小值－4.答案：－4(3)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝2sinx＋sin2x，则ƒ(x)的最小值是________．解析：ƒ′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx＜12时，ƒ′(x)＜0，ƒ(x)单调递减；当cosx＞12时，ƒ′(x)＞0，ƒ(x)单调递增．∴当cosx＝12时，ƒ(x)有最小值．又ƒ(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，ƒ(x)有最小值，即ƒ(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.答案：－332[类题通法]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法三角函数类型求值域(最值)方法y＝asinx＋bcosx＋c先化为y＝Asin(x＋φ)＋k的形式，再求值域(最值)y＝asin2x＋bsinx＋c可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数，再求值域(最值)y＝asin2x＋bsinx求导，利用导数工具解决1．(2019·广东佛山调研)已知函数f(x)＝sin