2020版高考数学大二轮复习 第二部分 专题5 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的综合问题课件 文

第3讲圆锥曲线中的综合问题范围、最值问题考情调研考向分析与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考命题的热点，直线与圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关系受一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解.1.直线的斜率的范围．2.几何图形面积的范围．3.参数的范围.[题组练透]1．(2019·东三省四市模拟)已知椭圆C：x24＋y2b＝1(0b4)的左顶点为A，右顶点为B，M为椭圆C上异于A、B的任意一点，平面内的点P满足AM→＝MP→.(1)若点P的坐标为(4,3)，求b的值；(2)若存在点P满足OP⊥BM(O为坐标原点)，求b的取值范围．解析：(1)依题意，M是线段AP中点，因为A(－2,0)，P(4,3)，故M1，32，代入椭圆C的方程，可得14＋94b＝1，解得b＝3.(2)设M(x0，y0)，则x0∈(－2,2)，又B(2,0)，P(2x0＋2,2y0)，又OP⊥BM所以(x0－2)(2x0＋2)＋2y20＝0，－2x02,x204＋y20b＝1，消去y0，可得b＝4x0＋1x0＋2＝41－1x0＋2，故b∈(0,3)．2．已知椭圆M：x2a2＋y23＝1(a0)的一个焦点为F(－1,0)，左、右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．(1)求椭圆M的方程；(2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1－S2|的最大值．解析：(1)因为F(－1,0)为椭圆M的焦点，所以c＝1，又b＝3，所以a＝2，所以椭圆M的方程为x24＋y23＝1.(2)法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1－S2|＝0.当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ0恒成立，且x1＋x2＝－8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2.此时|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋2k|＝12|k|3＋4k2＝123|k|＋4|k|≤12212＝3(当且仅当k＝±32时，取等号)，所以|S1－S2|的最大值为3.法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x＝my－1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ0恒成立，且y1＋y2＝6m3m2＋4，故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝12|m|3m2＋4＝123|m|＋4|m|≤12212＝3，当且仅当m＝±233时取等号，所以|S1－S2|的最大值为3.[题后悟通]解决圆锥曲线中范围问题的方法一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化.定点、定值问题考情调研考向分析圆锥曲线的定点与定值问题是高考命题的热点，无论选择题、填空题，还是解答题，只要考查与曲线有关的运动变化，都可能涉及探究定点或定值，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖.1.直线或曲线过定点．2.线段的长或几何图形的面积为定值.[题组练透]1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，右焦点F的坐标为(2,0)，且点(2，2)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)过点F的直线交椭圆于A，B两点(直线不与x轴垂直)，已知点A与点P关于x轴对称，证明：直线PB恒过定点，并求出此定点坐标．解析：(1)由已知得4a2＋2b2＝1a2＝b2＋c2c＝2，解得a2＝8b2＝4，∴椭圆C的标准方程x28＋y24＝1，∴椭圆C的离心率e＝ca＝222＝22.(2)证明：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，－y1)，可设PB的直线方程为y＝kx＋m，联立方程y＝kx＋mx28＋y24＝1，整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，∴x1＋x2＝－4km2k2＋1，x1x2＝2m2－82k2＋1，∵kAF＝kFB，∴y12－x1＝y2x2－2，整理得，2kx1x2＋(m－2k)(x1＋x2)－4m＝0，∴2k·2m2－82k2＋1＋(m－2k)·－4km2k2＋1－4m＝0，解得m＝－4k，∴PB的直线方程为y＝kx－4k＝k(x－4)，直线PB恒过定点(4,0)．2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的长轴长为4，离心率为32，右焦点为F.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C相切于点P(不为椭圆C的左、右顶点)，直线l与直线x＝2交于点A，直线l与直线x＝－2交于点B，请问∠AFB是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明．解析：(1)因为2a＝4，所以a＝2，又e＝ca＝32，所以c＝3，b＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)当直线l的斜率为0时，切点P的坐标为(0,1)或(0，－1)，易知此时|AF|2＋|BF|2＝|AB|2，即∠AFB＝π2.当直线l的斜率不为0时，设P(x0，y0)，则l的方程为xx04＋yy0＝1，所以A(2，1－x02y0)，B(－2，1＋x02y0)，所以kAF·kBF＝1－x022－3y0·1＋x02－2－3y0＝1－x204－y20＝－1，所以AF与BF互相垂直，(两直线垂直的充要条件为k1·k2＝－1)所以∠AFB＝π2.综上可知，∠AFB为定值π2.[题后悟通]圆锥曲线中的证明问题的解决方法解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．常用的证明方法有：(1)证A、B、C三点共线，可证kAB＝kAC或AB→＝λBC→.(2)证直线MA⊥MB，可证kMA·kMB＝－1或MA→·MB→＝0.(3)证|AB|＝|AC|，可证A点在线段BC的垂直平分线上.存在性问题考情调研考向分析以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系为背景，主要涉及存在性问题．题型主要以解答题形式出现，属于中高档题.1.点、线的存在问题．2.参数的存在问题.[题组练透]1．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为12.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆相交于C、D，且|CD||AB|＝837？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解析：(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)，由题意可得a＋c＝3，ca＝12，解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l，设为y＝－x＋m，由(1)知F1，F2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，所以以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝1，由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d＝|－m|21，得|m|2.|AB|＝21－d2＝21－m22＝2×2－m2，联立得x24＋y23＝1，y＝－x＋m，消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m)2－4×7(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)0，解得m27，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝8m7，x1x2＝4m2－127，|CD|＝2|x1－x2|＝2×8m72－4×4m2－127＝2×336－48m249＝467×7－m2＝837|AB|＝837×2×2－m2，解得m2＝137，得m＝±33.即存在符合条件的直线l，其方程为y＝－x±33.2．已知抛物线C：y＝2x2，直线l：y＝kx＋2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx＋2，y＝2x2得2x2－kx－2＝0，则x1＋x2＝k2，x1·x2＝－1，因为M是线段AB的中点，所以M(k4，k24＋2)，又过点M作x轴的垂线交C于点N，所以N(k4，k28)．因为y＝2x2，所以y′＝4x，则抛物线C在点N处的切线的斜率为4×k4＝k，故抛物线C在点N处的切线与AB平行．(2)假设存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N，则|MN|＝12|AB|.由(1)知yM＝k24＋2，又MN垂直于x轴，所以|MN|＝yM－yN＝k24＋2－k28＝k2＋168.由(1)知，x1＋x2＝k2，x1x2＝－1，所以|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·k22＋4＝121＋k2·16＋k2，所以k2＋168＝141＋k2·16＋k2，即k4＋12k2－64＝0，解得k＝±2.故存在实数k＝±2，使得以AB为直径的圆M经过点N.[题后悟通]