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当前位置:首页 > 临时分类 > 2020版高考数学大二轮复习 8.1 坐标系与参数方程课件 文
考点1极坐标1.极坐标与直角坐标的互化设M为平面上的一点,它的直角坐标为(x,y),极坐标为(ρ,θ).由图可知下面的关系式成立:x=ρcosθy=ρsinθ或ρ2=x2+y2tanθ=yxx≠0.顺便指出,上式对ρ0也成立.这就是极坐标与直角坐标的互化公式.2.圆的极坐标方程(1)圆心在极点,半径为R的圆的极坐标方程为ρ=R.(2)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ.(3)圆心在点a,π2处且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asinθ.[例1][2019·全国卷Ⅲ][选修4—4:坐标系与参数方程]如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,π2,(1,π),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.【解析】本题主要考查极坐标方程的求解,考查数形结合思想,考查的核心素养是直观想象、数学运算.(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ.所以M1的极坐标方程为ρ=2cosθ0≤θ≤π4,M2的极坐标方程为ρ=2sinθπ4≤θ≤3π4,M3的极坐标方程为ρ=-2cosθ3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:若0≤θ≤π4,则2cosθ=3,解得θ=π6;若π4≤θ≤3π4,则2sinθ=3,解得θ=π3或θ=2π3;若3π4≤θ≤π,则-2cosθ=3,解得θ=5π6.综上,P的极坐标为3,π6或3,π3或3,2π3或3,5π6.(1)把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍),一般取θ∈[0,2π).(2)直角坐标方程与极坐标方程的互化,关键要掌握好互化公式,研究极坐标系下图形的性质,可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.『对接训练』1.[2019·全国卷Ⅱ][选修4-4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ00)在曲线C:ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0=π3时,求ρ0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.解析:本题主要考查直线的极坐标方程、轨迹方程的求解,意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=π3时,ρ0=4sinπ3=23.由已知得|OP|=|OA|cosπ3=2.设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点.连接OQ,在Rt△OPQ中,ρcosθ-π3=|OP|=2.经检验,点P2,π3在曲线ρcosθ-π3=2上.所以,l的极坐标方程为ρcosθ-π3=2.(2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cosθ=4cosθ,即ρ=4cosθ.因为P在线段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范围是π4,π2.所以,P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ,θ∈π4,π2.考点2参数方程1.直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为y-y0=k(x-x0).其中k=tanα,α为直线的倾斜角,代入上式,得y-y0=sinαcosα(x-x0),α≠π2,即x-x0cosα=y-y0sinα.记上式的比值为t,整理后得x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数).这是直线的参数方程,其中参数t有明显的几何意义.在直角三角形M0AM中,|M0A|=|x-x0|,|MA|=|y-y0|,|M0M|=|t|,即|t|表示直线上任一点M到定点M0的距离.2.圆的参数方程若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为x=x0+Rcosθ,y=y0+Rsinθ(θ为参数).3.椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点,而在点M0(x0,y0)处,相应的椭圆的参数方程为x=x0+acosθ,y=y0+bsinθ(θ为参数).通常规定参数θ的范围为[0,2π).[例2][2018·全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【解析】(1)解:曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)解:将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-42cosα+sinα1+3cos2α,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.(1)参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式,在消参时要注意参变量的范围.(2)在参数方程应用不够熟练的情况下,可将其先化成直角坐标系下的普通方程,这样思路会更加清晰.『对接训练』2.[2018·天津卷]已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线x=-1+22t,y=3-22t(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为________.解析:将直线的参数方程化为普通方程,为y=-x+2.联立方程组y=-x+2,x2+y2-2x=0,可求得A,B两点的坐标分别为(1,1),(2,0).故|AB|=2.又圆心C到直线AB的距离d=22,故S△ABC=12×2×22=12.答案:12考点3极坐标方程与参数方程的综合[例3][2019·全国卷Ⅰ][选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=1-t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解析】本题主要考查椭圆的参数方程与直线的极坐标方程、椭圆上的点到直线的距离最小值等知识,考查数形结合思想、化归与转化思想等,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.(1)因为-11-t21+t2≤1,且x2+y22=1-t21+t22+4t21+t22=1,所以C的直角坐标方程为x2+y24=1(x≠-1).l的直角坐标方程为2x+3y+11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为x=cosα,y=2sinα(α为参数,-παπ).C上的点到l的距离为|2cosα+23sinα+11|7=4cosα-π3+117.当α=-2π3时,4cosα-π3+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为7.极坐标方程与参数方程的综合问题,一般采用分别化为普通方程的方法,利用平面解析几何的知识解决.当涉及线段长度时,也可以利用极径的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义求解.『对接训练』3.[2019·河南新乡一模]在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1-22t,y=2+22t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,P(-1,2),求|PA|·|PB|的值.解析:(1)消去参数,得直线l的普通方程为x+y-1=0.由ρcos2θ=sinθ,得ρ2cos2θ=ρsinθ,则y=x2,故曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)将x=-1-22t,y=2+22t代入y=x2,得t2+2t-2=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-2,易知直线l过点P(-1,2),故|PA|·|PB|=|t1t2|=2.
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