2020-2021学年高中数学 第一章 数列 3 等比数列 第3课时 等比数列的前n项和课件 北师大

第一章数列§3等比数列第3课时等比数列的前n项和自主预习学案请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40g，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言．要解决这个问题就需要学习本节的等比数列的前n项和．国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．1．等比数列前n项和公式(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝____________＝____________；当q＝1时，Sn＝____________.(2)推导等比数列前n项和公式的方法是____________.a11－qn1－qa1－anq1－qna1错位相减法－Aqn＋A2．等比数列前n项和公式与函数的关系(1)当公比q≠1时，令A＝a11－q，则等比数列的前n项和公式可写成Sn＝____________的形式．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为____________.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的____________(常数项为0的一次函数)．(2)当q≠1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数____________图像上的一群孤立的点．当q＝1时，数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数____________图像上的一群孤立的点．相反数正比例函数y＝－Aqx＋Ay＝a1x1．等比数列{an}中，an＝2n，则它的前n项和Sn＝()A．2n－1B．2n－2C．2n＋1－1D．2n＋1－2D[解析]等比数列{an}的首项为2，公比为2.∴Sn＝a11－qn1－q＝21－2n1－2＝2n＋1－2，故选D．2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为()A．63B．64C．127D．128C[解析]设等比数列{an}的公比为q，则q0.因为a1＝1，a5＝16，所以1×q4＝16，解得q＝2，所以数列{an}的前7项和S7＝a11－q71－q＝1－271－2＝127.3．已知等比数列{an}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为()A．15B．17C．19D．21B[解析]由题意，得a11－241－2＝1，解得a1＝115，所以前8项的和为115×1－281－2＝17.4．已知等比数列的首项为2，公比为－1，则前99项之和是()A．0B．－2C．2D．198C[解析]S99＝2[1－－199]1－－1＝2.5．(2019·全国Ⅰ理，14)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝____________.[解析]由a24＝a6得(a1q3)2＝a1q5，整理得q＝1a1＝3.∴S5＝131－351－3＝1213.1213互动探究学案命题方向1⇨等比数列前n项和公式的基本运算例题1在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求S5；(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q；(4)S3＝3a3，求q.[分析]根据条件列方程组，然后再求所要求的量．[解析](1)由题意知a11＋q＝30，a11＋q＋q2＝155，解得a1＝5，q＝5或a1＝180，q＝－56，从而Sn＝14×5n＋1－54或Sn＝1080×[1－－56n]11.(2)解法一：由题意知a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝54，解得a1＝8，q＝12，从而S5＝a11－q51－q＝312.解法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝18，从而q＝12.又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，从而S5＝a11－q51－q＝312.(3)因为a2an－1＝a1an＝128，所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根．从而a1＝2，an＝64或an＝2，a1＝64.又Sn＝a1－anq1－q＝126，所以q＝2，n＝6或q＝12，n＝6，所以q为2或12.(4)当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，显然成立．当q≠1时，由已知得a11－q31－q＝3a1q2，化简得2q2－q－1＝0，∴q＝－12，q＝1(舍)．综上知q＝1或q＝－12.『规律总结』(1)在等比数列中，对于a1，an，q，n，Sn五个量，已知其中三个量，可以求得其余两个量．(2)等比数列前n项和问题，必须注意q是否等于1，如果不确定，应分q＝1或q≠1两种情况讨论．(3)等比数列前n项和公式中，当q≠1时，若已知a1，q，n利用Sn＝a11－qn1－q来求；若已知a1，an，q，利用Sn＝a1－anq1－q来求．〔跟踪练习1〕(2019·浙江)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．[解析]设数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝4，a1＋3d＝3a1＋3d，解得a1＝0，d＝2.从而an＝2n－2，n∈N*.所以Sn＝n2－n，n∈N*.由Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列，得(Sn＋1＋bn)2＝(Sn＋bn)(Sn＋2＋bn)．解得bn＝1d(S2n＋1－SnSn＋2)．所以bn＝n2＋n，n∈N*.命题方向2⇨等比数列前n项和公式与函数关系已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，求{an}的前n项和．例题2[分析]由题意，知公比为q的取值未定，所以需分情况讨论，又知道q与a1的关系，所以可考虑利用公式Sn＝－a11－q·qn＋a11－q求解{an}的前n项和．[解析]由题意得，等比数列{an}的公比q的取值未定，需分情况讨论．当q＝1时，由于3a1＝1－q＝0，即a1＝0，与{an}是等比数列矛盾，∴q≠1，即a11－q＝13.又∵等比数列前n项和公式为Sn＝－a11－q·qn＋a11－q，∴Sn＝－13qn＋13.『规律总结』求等比数列前n项和时，若公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；若不等于1，它的前n项和可以看作关于n的函数，然后用函数性质求解．〔跟踪练习2〕已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a＝()A．－4B．－1C．0D．1B[解析]解法1：设等比数列为{an}，由已知得a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝48，∴a22＝a1·a3，即144＝(4＋a)×48，∴a＝－1.解法2：数列{an}是非常数列的充要条件是前n项和公式为Sn＝－Aqn＋A，由此可见a＝－1.命题方向3⇨等比数列前n项和公式的实际应用某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)[分析]依次写出每年年底扣除消费资金后的资金，寻找规律写出第五项求解．例题3[解析]设an表示第n年年底扣除消费资金后的资金，则a1＝1000(1＋12)－x，a2＝[1000(1＋12)－x](1＋12)－x＝1000(1＋12)2－x(1＋12)－x，a3＝[1000(1＋12)2－x(1＋12)－x](1＋12)－x＝1000(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋12)－x.依此类推，得a5＝1000(1＋12)5－x(1＋12)4－x(1＋12)3－x(1＋12)2－x(1＋12)－x.则1000(32)5－x[(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2000，∴1000(32)5－x·1－3251－32＝2000.解得x≈424(万元)．∴每年年底扣除的消费资金约为424万元．『规律总结』解数列应用题的具体方法步骤(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：①明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题？是求an，还是求Sn？特别要注意准确弄清项数是多少．②弄清题目中主要的已知事项．(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达出来．(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，列出满足题意的数学关系式．〔跟踪练习3〕国家计划在西部地区退耕还林6370万亩，2014年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．(1)试问从2014年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2015年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元．试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)[解析]设从2014年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an，…万亩．则(1)a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，an＝515(1＋12%)n，…Sn＝a1＋a2＋…＋an＝5151＋0.121－1.12n1－1.12＝6370－515⇒515×1.12×(1.12n－1)＝5855×0.12又∵n∈N*，当n＝7时，1.127＝2.211.此时完不成退耕还林计划，∴1.12n＝2.22，∴n＝8.故到2022年底西部地区才能完成退耕还林计划．(2)设财政补助费为W亿元．则W＝(300×0.7＋20)×(6370－515)×10－4＝135(亿元)所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付135亿元．命题方向4⇨等比数列前n项和公式的应用在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[分析]证明一个数列是等比数列常用定义法，第二问可运用分组求和求解．例题4[解析](1)证明：由题设an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.所以数列{an}的前n项和Sn＝4n－13＋nn＋12.『规律总结』数列{an}由一个等差数列与一个等比数列组合而成，因此，求和时可分别对等差数列、等比数列求和再相加．〔跟踪练习4〕已知等差数列{an}，a2＝9，a5＝21.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝9，a5＝21，得a1＋d＝9，a1＋4d＝21，解得a1＝5，d＝4.∴数列{an}的通项公式为an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1.(2)由an＝4n＋1，得bn＝2an＝24n＋1，∴数列{bn}是首项为b1＝25＝32，公比q＝24＝16的等比数列．于是得数列{bn}的前n项和为Sn＝25×1－24n1－24＝32×24n－115.求数列1，a＋a2，a3＋a4＋a5，a6＋a7＋a8＋a9，…的前n项和．例题5[误解]所求数列的前n项和[辨析]所给数列除首项外，每一项都与a有关，而条件中没有a的范围，故应对a进行讨论．[正解]由于