2020-2021学年高中数学 第一章 空间几何体 1.2.3 空间几何体的直观图课件 新人教A版必

1.2.3空间几何体的直观图1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图步骤【思考】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,哪些关系不变?哪些关系有可能发生变化?提示:(1)不变的关系:①一般情况下,直线的平行关系不变;②点的共线性不变,线的共点性不变.(2)有可能发生变化的关系:①长度相等的线段,在直观图中长度不一定相等;②角的大小关系有变化,特别是垂直关系有变化.2.空间几何体直观图的画法(1)画轴:与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z′轴.(2)画底面:平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面.(3)画侧棱:已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图:去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.【思考】画空间几何体直观图时,为了体现立体感,最重要的措施是什么?提示:被遮挡的部分改为虚线,通过实线虚线的变化,展示前后层次,体现立体感.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同.()(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.()(3)水平放置的三角形的直观图一定是三角形.()(4)水平放置的菱形的直观图一定是菱形.()提示:(1)√.实物图中的直观图与取坐标系的方法有关.(2)√.根据斜二测画法的规则可知此说法正确.(3)√.水平放置的n边形的直观图仍是n边形.(4)×.利用斜二测画法画菱形的直观图时,相邻两边不一定再相等,故不一定是菱形.2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图,正确的是()【解析】选C.正方形的直观图应是平行四边形,且相邻两边的边长之比为2∶1.3.已知△ABC的直观图如图所示,则原△ABC的面积为________.【解析】由题意,易知在△ABC中,AC⊥AB,且AC=6,AB=3,所以×6×3=9.答案:9ABC1S2类型一画水平放置的平面图形的直观图【典例】按如图所示的建系方法,用斜二测画法画出水平放置的△OAB的直观图.【思维·引】分别画出过点A和B与y轴平行的线段,确定点A和B在直观图中的位置.【解析】画法:(1)作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,如图(1)所示.(2)建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.在坐标系x′O′y′中,沿x′轴正方向取O′M′=OM,O′N′=ON.(3)在坐标系x′O′y′中,沿y′轴正方向画N′B′平行于y′轴,且N′B′=NB;沿y′轴正方向画M′A′平行于y′轴,且M′A′=MA.1212(4)连接O′A′,O′B′,A′B′,去掉辅助线,得到△O′A′B′,即为△OAB的直观图.如图(3)所示.【内化·悟】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,建立平面直角坐标系的原则是什么?提示:一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点.【类题·通】画平面图形的直观图的关键点及对策(1)关键点:画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.(2)对策:首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.【习练·破】如图所示,平行四边形ABCD中,∠A=45°,试画出它的直观图.【解析】(1)画轴.如图①,建立平面直角坐标系xOy,再建立坐标系x′O′y′,其中∠x′O′y′=45°.(2)描点.如图②,在x′轴上截取O′A′=OA,O′B′=OB,在y′轴上截取O′D′=OD,过点D′作D′C′∥x′轴,且D′C′=DC.12(3)连线.连接B′C′,A′D′.(4)成图.如图③,四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.【加练·固】按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.【解析】画法:(1)在图(1)中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.(2)在图(2)中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.(3)在图(2)中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取O′E′=OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取G′A′=GA,H′D′=HD.121212(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,点O′,G′,H′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3)).类型二空间几何体的直观图的画法角度1根据数据画空间几何体的直观图【典例】用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2cm,3cm,高为2cm.【思维·引】先作四棱台的下底面,再依据四棱台的高确定上底面的位置,并画出其直观图,最后连线成图.【解析】画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5cm.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形ABCD即为四棱台的下底面.(3)画上底面.在z轴上取一点O′,使OO′=2cm,以O′为原点画直线a和直线b,使直线a∥x轴,直线b∥y轴,在平面aO′b内以O′为中心画水平放置的边长为2cm的正方形的直观图A′B′C′D′.(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理就得到四棱台的直观图(如图②).【素养·探】在画空间几何体的直观图时,经常利用核心素养中的直观想象,通过画空间几何体的直观图,深入认识空间几何体的结构特征,为空间几何体中有关量的计算和位置关系的证明奠定基础.将本例的条件改为:正六棱锥(底面为正六边形,顶点在底面上的正投影是底面正六边形的中心),底面边长为3cm,高为3cm,试画出该正六棱锥的直观图.【解析】(1)先画出边长为3cm的正六边形的水平放置的直观图,如图①所示.(2)过正六边形的中心O′建立z′轴,画出正六棱锥的顶点V′,在z′轴上截取O′V′=3cm,如图②所示.(3)连接V′A′,V′B′,V′C′,V′D′,V′E′,V′F′,如图③所示.(4)擦去辅助线,遮挡部分用虚线表示,即得到正六棱锥的直观图,如图④所示.角度2根据三视图画空间几何体的直观图【典例】已知某几何体的三视图如图,请画出它的直观图(单位:cm).【思维·引】先根据三视图判断此几何体是四棱柱,然后选择恰当的坐标系利用斜二测画法的规则画图.【解析】画法:(1)如图1,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)以O为起点,在x轴上取线段OB=8cm,在y轴上取线段OA′=2cm,以OB和OA′为邻边作平行四边形OBB′A′.(3)在z轴上取线段OC=4cm,过C分别作x轴、y轴的平行线,并在平行线上分别截取CD=4cm,CC′=2cm.以CD和CC′为邻边作平行四边形CDD′C′.(4)成图.连接A′C′、BD、B′D′,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到几何体的直观图(如图2).【类题·通】1.简单几何体直观图的画法(1)画轴:通常以高所在直线为z轴建系.(2)画底面:根据平面图形的直观图画法确定底面.(3)确定顶点:利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.(4)连线成图.去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.2.由三视图还原直观图确定几何体形状的方法:(1)由俯视图区分多面体与旋转体.(2)由正视图与侧视图区分柱体与锥体.(3)特别注意观察者与几何体的方位,重点把握图中的垂线位置.(4)注意横放的多面体与旋转体.(5)熟记特殊几何体的视图特征.【习练·破】1.空间几何体的三视图如图所示,则此空间几何体的直观图为()【解析】选A.由已知中三视图的上部分是锥体,是三棱锥,满足条件的直观图的选项是选项A,由三视图可知,该几何体下部分是一个四棱柱.选项都符合.2.画出底面是正方形,底边、侧棱均为2cm的四棱锥的直观图.【解析】画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图.(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点.在Oz轴上截取OP=cm.(4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.2【加练·固】一个几何体,它的下面是一个圆柱,上面是一个圆锥,并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合,圆柱的底面直径为3cm,高为4cm,圆锥的高为3cm,画出此几何体的直观图.【解析】(1)画轴.如图1所示,画x轴、z轴,使∠xOz=90°.(2)画圆柱的两底面.在x轴上取A,B两点,使AB的长度等于3cm,且OA=OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点,使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′,使OO′=4cm,过O′作Ox的平行线O′x′,类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P,使PO′等于圆锥的高3cm.(4)成图.连接A′A,B′B,PA′,PB′,整理得到此几何体的直观图,如图2所示.类型三直观图的还原和计算问题【典例】1.(2019·葫芦岛高一检测)如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,其中A′B′=A′C′,那么△ABC是()A.等腰三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形2.(2019•孝感高一检测)一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示,其中O′C′⊥x′轴,A′B′⊥x′轴,B′C′∥y′轴,则四边形OABC的面积为()A.B.3C.3D.3222323.(2019·南阳高一检测)正方形O′A′B′C′的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积是________.【思维·引】1.根据A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,推出△ABC中∠A=90°,由A′B′=A′C′推出△ABC中AB≠AC.2.根据平面图形与它的直观图面积比为1∶计算.3.根据直观图画出原图形并判断其形状,求出关键量,计算面积.24【解析】1.选D.因为水平放置的△ABC的直观图中,∠x′O′y′=45°,A′B′=A′C′,且A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,所以AB⊥AC,AB≠AC,所以△ABC是直角三角形.2.选B.平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形,其面积为×(1+2)×1=;根据平面图形与它的直观图面积比为1∶,计算四边形OABC的面积为=3.123224322423.由斜二测画法的规则可知,平行于x′轴(或在x′轴上)的线段长度不变,且平行于x轴(或在x轴上),正方形的对角线在y′轴上,可求得其长度为,故在原图形中其在y轴上,且其长度为原来的2倍,长度为2,综上知,原图形是平行四边形,如图所示,22其面积是1×2=2(cm2).答案:2cm2222【内化·悟】直观图的计算问题主要有哪两种解题思路?提示:(1)画出直观图,求出关键量直接求值;(2)根据直观图与原图面积之间的关系直接计算.【类题·通】1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.2.直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′=S或S=2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.242【习练·破】1.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是()【解析】选C.按斜二测画法规则,平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的,并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=