2020-2021学年高中数学 第三章 不等式 4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用课件

第三章不等式§4简单线性规划第3课时简单线性规划的应用自主预习学案近20年来，中国的城市化取得了巨大的成就．城市人口急剧增加，导致购房者大大增长．与装修有关的各个行业发展迅速．某家具加工厂为了满足人们的需求，准备加工书桌和书橱出售．家具厂现有方木90m2，五合板600m2.已知生产每张书桌需要方木料0.1m2，五合板2m2，生产书橱每个需要方木0.2m2，五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利润最大？要解决这个问题就要用到线性规划，下面让我们来研究一下线性规划问题．1．解线性规划应用题的步骤：(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．求解过程：①__________——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.②__________——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．③__________——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．(3)作答——就应用题提出的问题作出回答．作图平移求值物资调配2．线性规划解决的常见问题有：__________问题、__________问题、__________问题、__________问题、__________问题等．产品安排合理下料产品配方方案设计1．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是()A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元D[解析]设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意，得x≥0y≥03x＋y≤132x＋3y≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，既满足营养，又使费用最省，则需要甲、乙两种原料分别为()A．28g,30gB．30g,28gC．2.8g,3gD．3g,2.8gA[解析]设甲、乙两种原料分别用10x克，10y克，则有5x＋7y≥35，10x＋4y≥40，x≥0，y≥0，目标函数z＝3x＋2y，作出可行域如图，作直线l0：3x＋2y＝0，平移直线l0，当l0过点A时z最小，又由5x＋7y＝35，10x＋4y＝40，得A(145，3)．所以用甲：145×10＝28克，乙：3×10＝30克．3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱B[解析]设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知x＋y≤7010x＋6y≤480x≥0y≥0，甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M(15,55)为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图像知在点M(15,55)处z取得最大值．4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为__________.30亩、20亩[解析]设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩、y亩，则总利润z＝(4×0.55－1.2)x＋(6×0.3－0.9)y＝x＋0.9y，此时x，y满足条件x＋y≤501.2x＋0.9y≤54x≥0y≥0，即x＋y≤50，4x＋3y≤180，x≥0，y≥0，画出可行域如图中阴影部分所求，易得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．易得最优解为(30,20)，即黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩．155．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为__________(百万元)．[解析]设购买A，B两种矿石分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则z＝3x＋6y.由题意可得约束条件为12x＋710y≥1.9x＋12y≤2x≥0y≥0，作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15.互动探究学案命题方向1⇨收益最大问题(利润、收入、产量等)某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A种原料1200kg，B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？例题1[解析]依题意可列表如下：产品原料A数量(kg)原料B数量(kg)利润(元)生产甲种产品1工时3130生产乙种产品1工时2240限额数量1200800设计划生产甲种产品用x工时，生产乙种产品用y工时，则获得利润总额为t＝30x＋40y.①其中x、y满足下列条件3x＋2y≤1200x＋2y≤800x≥0y≥0②于是问题转化为，在x、y满足条件②的情况下，求t＝30x＋40y的最大值．画出不等式组②表示的平面区域OABC如图．问题又可以转化为，在不等式组②表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子30x＋40y时，使该式取最大值．令30x＋40y＝0，则此方程表示通过原点的一条直线，记为l0.易知，在区域OABC内有30x＋40y≥0.考察这个区域内任意一点P(x，y)到l0的距离d＝|30x＋40y|302＋402＝30x＋40y50，于是30x＋40y＝50d，这就是说，点P(x，y)到直线l0的距离d越大，式子30x＋40y的值也越大．因此，问题就转化为：在不等式组②表示的平面区域内，找与直线l0距离最大的点．为了在区域OABC内精确地找到这一点，我们平移直线l0到位置l，使l通过平面区域OABC，可见当l经过点B时，l与l0的距离最大，∴d最大．解方程组3x＋2y＝1200x＋2y＝800，得点B的坐标(200,300)，代入式子①，得tmax＝30×200＋40×300＝18000.答：用200工时生产甲种产品，用300工时生产乙种产品，能获得最大利润18000元．『规律总结』解答线性规划应用题应注意以下几点：(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要．(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断．(3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等．(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式．(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．〔跟踪练习1〕某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4t/件，B种原料2t/件，生产乙产品需要A种原料3t/件，B种原料1t/件，该厂能获得A种原料120t，B种原料50t．问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大？最大总收入为多少？[解析]设生产甲、乙两种产品分别为x件、y件，总产值为z千元，则4x＋3y≤1202x＋y≤50x≥0y≥0，z＝50x＋30y.画出不等式组表示的平面区域即可行域如图．易知直线z＝50x＋30y过点(15,20)时，取得最大值．zmax＝50×15＋30×20＝1350.答：生产甲、乙两种产品分别为15件、20件，总收入最大是1350千元．命题方向2⇨耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t．现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？例题2[解析]设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为xt、yt.则仓库A运给丙商店的货物为(12－x－y)t.仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7－x)t，(8－y)t，[5－(12－x－y)]t，总运费为z＝8x＋6y＋9(12－x－y)＋3(7－x)＋4(8－y)＋5(x＋y－7)＝x－2y＋126，约束条件为12－x－y≥07－x≥08－y≥0x＋y－7≥0x≥0y≥0，即0≤x≤70≤y≤8x＋y≥7x＋y≤12，作出可行域，如图所示．作直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，当直线过A(0,8)时，z＝x－2y＋126取得最小值，zmin＝0－2×8＋126＝110，即x＝0，y＝8时，总运费最少．即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、8t、4t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t、0t、1t，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少．〔跟踪练习2〕某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元C[解析]本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题．设需A型车x辆，B型车y辆，则y－x≤7x＋y≤2136x＋60y≥900x，y∈N＋⇒y－x≤7x＋y≤213x＋5y≥75x，y∈N＋由目标函数z＝1600x＋2400y，得y＝－23x＋z2400，z2400表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画了可行域(如图)，平移直l：y＝－23x到l0过点A(5,12)时，zmin＝5×1600＋2400×12＝36800.故选C．平移直线l时，不要找错最优解．命题方向3⇨线性规划中的整点问题例题3要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少．[解析]设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．可