2020-2021学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.3 直线与平面平行的性

2.2.3直线与平面平行的性质直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b图形语言【思考】已知直线a∥平面α,过平面α内的点P如何作与直线a平行的直线?提示:经过直线a和点P作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线在平面α内,就是要作的直线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)直线l∥平面α,直线b⊂平面α,则l∥b.()(2)若直线l∥平面α,则l与平面α内的任意一条直线都不相交.()(3)若直线a∥平面α,直线a∥直线b,则直线b∥平面α.()(4)若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a∥b.()提示:(1)×.直线l∥平面α,直线b⊂平面α,则l∥b或l与b异面.(2)√.若直线l∥平面α,则l与平面α无公共点,所以l与平面α内的任意一条直线都不相交.(3)×.直线b有可能在平面α内.(4)×.若直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,则a与b平行、相交和异面都有可能.2.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则()A.EF与BC相交B.EF∥BCC.EF与BC异面D.以上均有可能【解析】选B.EF∥平面ABC,又EF⊂平面SBC,平面ABC∩平面SBC=BC,故EF∥BC.3.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,l∥c,…,所以a∥b∥c∥….类型一与线面平行的性质有关的证明问题【典例】如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证:PA∥GH.【思维·引】要证PA∥GH,观察到过PA的平面PAHG与平面BDM相交于GH,需要先证PA∥平面BDM.【证明】连接AC,设AC∩BD=O,连接MO.因为四边形ABCD为平行四边形,所以O是AC的中点,又M是PC的中点,所以MO∥PA.又MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM,所以PA∥平面BDM.又因为平面BDM∩平面PAHG=GH,PA⊂平面PAHG,所以PA∥GH.【素养·探】在与线面平行的性质有关的证明问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据“直线与平面平行”,寻找过此直线的平面与已知平面的交线,推出直线与直线平行.直线与平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.将本例条件“M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH”改为“点E在线段PA上,PC∥平面BDE”,求证:AE=PE.【证明】连接AC交BD于点F,连接EF,因为底面ABCD是平行四边形,所以F是AC的中点,因为PC∥平面BDE,又因为平面BDE∩平面PAC=EF,PC⊂平面PAC,所以PC∥EF,所以EF是△PAC的中位线,所以AE=PE.【类题·通】利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤【习练·破】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1上不同于B,B1的任一点,AB1∩A1E=F,B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG.【证明】连接A1C1,因为AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1EC1,AC⊄平面A1EC1,所以AC∥平面A1EC1.又因为平面A1EC1∩平面AB1C=FG,AC⊂平面AB1C,所以AC∥FG.【加练·固】如图,在四棱锥P-ABCD中,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,BC∥平面GEFH.证明:GH∥EF.【证明】因为BC∥平面GEFH,BC⊂平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.同理可证EF∥BC,因此GH∥EF.类型二与线面平行的性质有关的计算问题【典例】1.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD交α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.2.如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF,试求PM∶MA的值.【思维·引】1.根据直线与平面平行的性质定理,由a∥α可推出BD∥EG.2.由PC∥平面MEF可推出PC∥OM,利用平行线分线段成比例定理可将PM∶MA的值转化为在菱形ABCD中求OC∶AC的值.【解析】1.因为a∥α,EG=α∩平面ABD,所以a∥EG,即BD∥EG.所以即所以EG=.答案:AFEGACBD，5EG454，2092092.如图,连接BD交AC于点O1,连接OM,因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,PC⊂平面PAC,所以PC∥OM,所以,在菱形ABCD中,因为E,F分别是边BC,CD的中点,所以.又AO1=CO1,所以故PM∶MA=1∶3.PMOCPAAC1OC1OC2PMOC1PAAC4，【内化·悟】遇到线面平行时,常需如何作辅助线,把空间几何问题转化为平面几何问题?提示:常过已知直线作与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质找或作出经过直线的平面与已知平面相交的交线,得到直线与直线平行,把空间几何问题转化为平面几何问题.【类题·通】用线面平行性质定理解计算问题的三个要点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3)利用所得关系计算所求值.【习练·破】(2019·聊城高一检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,则实数t的值为()A.B.C.D.15141312【解题指南】连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,说明PA∥平面MQB,利用PA∥MN,根据三角形相似,即可得到结论.【解析】选C.连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,连接MN,如图则O为BD的中点,又因为BQ为△ABD边AD上的中线,所以N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=a.AC=a,因为PA∥平面MQB,PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN.所以PM∶PC=AN∶AC,即PM=PC,则t=.3331313【加练·固】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA=3.F在棱PA上,且AF=1,E在棱PD上.若CE∥平面BDF,求PE∶ED的值.【解析】过点E作EG∥FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O,连接FO.因为EG∥FD,EG⊄平面BDF,FD⊂平面BDF,所以EG∥平面BDF,又EG∩CE=E,CE∥平面BDF,EG⊂平面CGE,CE⊂平面CGE,所以平面CGE∥平面BDF,又CG⊂平面CGE,所以CG∥平面BDF,又平面BDF∩平面PAC=FO,CG⊂平面PAC,所以FO∥CG.又O为AC中点,所以F为AG中点,所以FG=GP=1,所以E为PD中点,PE∶ED=1∶1.