2020-2021学年高中数学 第2章 函数 3 函数的单调性课件 北师大版必修1

第二章函数§3函数的单调性学习目标核心素养1.理解函数单调性的概念及其几何意义．(难点)2．掌握用定义证明函数单调性的步骤．(重点)3．会求函数的单调区间，理解函数单调性的简单应用．(难点)1．通过学习函数单调性的概念及几何意义，提升数学抽象素养．2．通过函数单调性的证明，培养逻辑推理素养.自主预习探新知1．函数在区间上增加(减少)的定义阅读教材P36～P37第二自然段结束，完成下列问题．都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是的(递增的)在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于x1，x2∈A，当x1x2时都有f(x1)f(x2)f(x)在区间A上是的(递减的)任意两个数增加减少思考1：对于函数f(x)＝x2，x∈[－1,1]，由于f(－1)f(0)，所以f(x)在区间[－1,1]上是递减的，这个结论正确吗？[提示]不正确．在函数递增的定义中，要求对于任意x1，x2∈A，当x1x2时，f(x1)f(x2)，本推理不满足定义．2．单调区间、单调性和单调函数的概念阅读教材P37第三自然段开始～P38“函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数”的有关内容，完成下列问题．(1)函数的单调区间如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为_________．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是的如果函数是减少的，那么它的图像是的．下降单调区间上升(2)函数的单调性如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为或，统称为．单调函数增加的或减少的单调性定义域增函数减函数思考2：函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)，还是(－∞，0)和(0，＋∞)?[提示]函数y＝1x的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．3．函数最大值、最小值的概念阅读教材P38第二自然段及左侧“思考”～P39“练习”以上内容，完成下列问题．前提设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈D，都有__________；②存在x0∈D，使得________①对任意x∈D都有__________；②存在x0∈D，使得________结论M为最大值M为最小值f(x0)＝Mf(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥M思考3：(1)任何函数都有最大值或最小值吗？(2)当x∈R时，f(x)＝12x2≥－1，－1是函数f(x)＝12x2，x∈R的最小值吗？(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是什么？[提示](1)不一定，如函数y＝2x，x∈R就无最大值和最小值．(2)不是，虽然f(x)≥－1，但是不存在x0∈R，使f(x0)＝－1.根据最小值的定义可知－1不是函数f(x)的最小值．(3)函数f(x)的最大(小)值的几何意义分别是函数f(x)的图像上最高(低)点的纵坐标．1．若y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，则有()A．k12B．k－12C．k12D．k－12C[由y＝(2k－1)x＋b是R上的减函数，所以2k－10得k12，故选C.]2.函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2C[由最大(小)值的几何意义，可知f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－2)．]3．函数f(x)＝x2－1，x∈R的最小值是________．－1[f(x)＝x2－1≥－1，又f(0)＝－1，所以f(x)的最小值是－1.]4．已知函数f(x)在R中是增函数，则当x1x2时，f(x1)与f(x2)的大小关系是________．f(x1)f(x2)[根据增函数的定义知，f(x1)f(x2)．]合作探究释疑难用定义判断或证明函数的单调性【例1】证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．[思路探究]在(0,1)上任取x1，x2且x1＜x2，通过作差比较法证明f(x1)＞f(x2)．[解]任取x1，x2∈(0,1)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋1x2－x1＋1x1＝x2－x1x1x2－1x1x2，由0x1x21，得x2－x10，x1x2－10，x1x20，所以，f(x2)－f(x1)0，于是f(x2)f(x1)．根据减函数的定义知，f(x)在(0,1)上为减函数．用定义判断或证明单调性的步骤1设元：在指定区间内任取x1，x2且x1＜x2.2作差变形：计算fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子几个因式的积或几个完全平方式的和.3定号：确定fx1－fx2的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论.4判断：根据fx1－fx2的符号及定义判断函数的单调性.[跟进训练]1．对于例1中的函数，证明其在区间(1，＋∞)内是增函数．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋1x2－x1＋1x1＝x2－x1x1x2－1x1x2，由x2x11，得x2－x10，x1x2－10，x1x20，所以f(x2)－f(x1)0，于是f(x2)f(x1)，根据增函数的定义知，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．求函数单调区间【例2】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝－x2＋3x－2；(2)f(x)＝3|x|；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[思路探究]求给定函数的单调区间通常采用以下方法：(1)利用已知函数的单调性；(2)图像法；(3)定义法(利用单调性的定义探讨)．[解](1)f(x)＝－x－322＋14.∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为x＝32，∴f(x)在－∞，32上是增加的，在32，＋∞上是减少的．∴f(x)的单调增区间是－∞，32，单调减区间是32，＋∞.(2)∵f(x)＝3|x|＝3x，x≥0，－3x，x0.由一次函数的单调性可得f(x)在(－∞，0)上是减少的，在[0，＋∞)上是增加的．所以f(x)的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是[0，＋∞)．(3)∵f(x)＝－x2＋2x＋3x≥0，－x2－2x＋3x0.其图像如图所示．由此可知，y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增加的；y＝f(x)在(－1,0)，(1，＋∞)上是减少的．∴f(x)的单调增区间是(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间是(－1,0)，(1，＋∞)．1．对于含有绝对值的函数，往往转化为分段函数去处理．如y＝|x|＝xx≥0－xx0，在此基础上，画出图像，写出单调区间．2．利用图像法求函数的单调区间，应先画出图像，根据图像的上升和下降的趋势写出单调区间．3．求函数的单调区间时，一定要先求函数的定义域，然后再在定义域内讨论函数的单调区间．[跟进训练]2．如图所示的是定义在区间[－5,5)上的函数y＝f(x)的图像，根据图像写出y＝f(x)的单调区间，并指出在每一个单调区间上y＝f(x)是增函数还是减函数．[解]函数y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5)，其中y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5)上是增函数．已知函数的单调性求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋1在区间(－∞，4]上单调递减，求实数a的取值范围．[思路探究]求出f(x)的单调递减区间，利用集合之间的关系求解．[解]∵f(x)＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋1.∴f(x)的单调递减区间是(－∞，1－a]．又f(x)在区间(－∞，4]上单调递减，则(－∞，4](－∞，1－a]，∴1－a≥4，解得a≤－3.1．(变条件)设函数f(x)＝(1－2a)x＋1是R上的增函数，则有()A．a12B．a12C．a－12D．a－12A[依题意，1－2a0，解得a12.]2．(变条件)已知函数f(x)＝－x2－ax－5，x≤1ax，x1是R上的增函数，则a的取值范围是________．－3≤a≤－2[依题意，－a2≥1，a0，－12－a×1－5≤a1，解得－3≤a≤－2.]知函数的单调性，求参数取值范围的方法1先求出函数的单调区间，将其转化为两个集合之间的关系求解；2当已知函数是分段函数时，不但要考虑各段上函数的单调性，而且还要考虑各段图像之间的上下关系.利用单调性求函数的最大(小)值[探究问题]1．若函数f(x)在定义域[a，b]上是增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是什么？提示：f(x)max＝f(b)，f(x)min＝f(a)．2．已知函数f(x)的定义域是区间(a，b)，且在(a，c]上递增，在[c，b)上递减，则f(x)是否一定存在最大值，若存在最大值，最大值是什么？提示：f(x)一定存在最大值，最大值是f(c)．3．如何求函数f(x)＝－2x＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．提示：由f(x)＝－2x＋1在区间[1,3]上单调递增，得f(x)max＝f(3)＝－23＋1＝－12；f(x)min＝f(1)＝－21＋1＝－1.【例4】求函数f(x)＝2x＋1x＋1在区间[1,3]上的最大值与最小值．[思路探究]先判断函数f(x)在区间[1,3]上的单调性，再利用单调性求最值．[解]f(x)＝2x＋1x＋1＝2x＋1－1x＋1＝2＋－1x＋1.其图像如下：由上图知，f(x)在区间[1,3]上递增，所以，f(x)max＝f(3)＝2＋－13＋1＝74；f(x)min＝f(1)＝2＋－11＋1＝32.1如果函数y＝fx在区间a，b]上是增函数，在区间[b，c上是减函数，则函数y＝fx，x∈a，c在x＝b处有最大值fb.2如果函数y＝fx在区间a，b]上是减函数，在区间[b，c上是增函数，则函数y＝fx，x∈a，c在x＝b处有最小值fb.3如果函数y＝fx在区间[a，b]上是增减函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小大值、最大小值.[跟进训练]3．求函数f(x)＝xx－1在区间[2,5]上的最值．[解]f(x)＝xx－1＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1.其图像如下：由上图知，f(x)在[2,5]上递减，所以，f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(5)＝54.课堂小结提素养1．增(减)函数概念中对“任意”的理解“任意”两个字是指不能取特定的值来判断函数的单调性，不能因Δx＝2－10，Δy＝f(2)－f(1)0就说f(x)在区间[1,2]上是增函数．即证明单调性时，不能用特殊代替一般．2．对函数的单调区间的两点说明(1)若函数的单调增(或减)区间有多个，区间之间不能用“∪”来表示，可以用“，”“和”等来连接两个区间．(2)区间端点的书写，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但是对于某些点无意义时，即不在定义域范围内的点，单调区间就不包括这些点，只能用开区间．3．单调函数的运算性质若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则：(1)f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．(2)f(x)与a·f(x)，当a0时具有相同的单调性；当a0时具有相反的单调性．(3)在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)＋g(x)f(x)－g(x)增函数增函数增函数不能确定单调性增函数减函数不能确定单调性增函数减函数减函数减函数不能确定单调性减函数增函数不能确定单调性减函数4.对函