2019秋九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2

26.2二次函数的图象与性质导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时二次函数y=ax2+k的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质学习目标1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点）2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点）3.理解y=ax²与y=ax²+k之间的联系.（重点）已知二次函数①y=-x2;②y=x2;③y=15x2;④y=-4x2;⑤y=-x2;⑥y=4x2.(1)其中开口向上的有(填题号)；(2)其中开口向下，且开口最大的是(填题号)；(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后逐渐变小的有(填题号).35910②③⑥⑤①④⑤导入新课复习引入这个函数的图象是如何画出来的？情境引入xy21840yx讲授新课二次函数y=ax2+k的图象与性质一探究归纳解：先列表：x···－3－2－10123···············例1在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象．212yx2112yx212yx2112yx921122120122923321323112xy-4-3-2-1o1234123456212yx2112yx描点、连线，画出这两个函数的图象观察与思考抛物线，的开口方向、对称轴和顶点各是什么？212yx2112yx212yx2112yx二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上（0,0）（0,1）y轴y轴想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k的性质是什么？y2x31y23121xy23122xy-2-2422-4231xy23121xy23122xyx0二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)二做一做在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：根据图象回答下列问题:(1)图象的形状都是.(2)三条抛物线的开口方向_______;(3)对称轴都是__________(4)从上而下顶点坐标分别是_____________________(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________(6)函数的增减性都相同：_________________________________________________________抛物线向下直线x=0(0,0)(0，2)(0,-2)高大y=0y=-2y=2231xy23122xyy-2-222-423121xyx0对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小二次函数y=ax2+k（a≠0）的性质y=ax2+ka＞0a＜0开口方向向上向下对称轴y轴y轴顶点坐标（0,k）（0,k）最值当x=0时，y最小值=k当x=0时，y最大值=k增减性当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.知识要点例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.c方法总结：二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．二次函数y=ax2+c的图象及平移三探究归纳做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：x···－2－1.5－1011.52···y=2x2＋1······y=2x2－1······95.53135.5973.51－113.574－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？y=2x2向上(0,0)y轴y=2x2＋1y=2x2－1二次函数开口方向顶点坐标对称轴向上向上(0,1)(0,-1)y轴y轴4－22246－4810－2y=2x2＋1y=2x2－1(2)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.下y=2x2+1上解析式y=2x22x2+1y=2x2+1y=2x2-1+1-1点的坐标函数对应值表x……y=2x2-1……y=2x2……y=2x2+1……4.5-1.53.55.5-1213x2x22x2-1(x,)(x,)(x,)2x2-12x22x2+1从数的角度探究二次函数y=ax2+k的图象及平移三可以看出，y=2x2向___平移一个单位长度得到抛物线y=2x2+15321-6-4-2246122xy22xy4o-1122xy可以看出，y=2x2向___平移一个单位长度得到抛物线y=2x2-1xy从形的角度探究上下二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当c0时,向上平移c个单位长度得到.当c0时,向下平移-c个单位长度得到.二次函数y=ax2与y=ax2+c（a≠0）的图象的关系上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.知识要点二次函数y＝－3x2＋1的图象是将()A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.练一练D想一想1.画抛物线y=ax2+c的图象有几步？2.抛物线y=ax2+c中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.a决定开口方向和大小；c决定顶点的纵坐标.例2：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．12666222当堂练习1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线．2、填表：y=2x2－４函数开口方向顶点对称轴有最高（低）点y=３x2y=3x2＋1y=-4x2－5向上向上向下（0,0）(0,1)(0,-5)y轴y轴y轴有最低点有最低点有最高点3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.4.若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k.在=2225.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.（2）函数y=-x2+1，当x时，y随x的增大而减小；当x时，函数y有最大值，最大值y是，其图象与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是.（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.向下平移1个单位.0=01(0,1)(-1,0),(1,0)开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.能力提升6.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x0时y随x的增大而增大，则m=____.7.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.8.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.9.二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的图象在同一坐标系中的是()xy0xy0xy0xy0ABCD2-28B课堂小结二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质图象性质与y=ax2的关系1.开口方向由a的符号决定；2.k决定顶点位置；3.对称轴是y轴.增减性结合开口方向和对称轴才能确定.平移规律：k正向上；k负向下.