2019秋高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理课件 新人教A版选修2-3

第一章计数原理1．3二项式定理1．3.1二项式定理[学习目标]1.能用计数原理证明二项式定理(难点)．2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(重点、难点)．二项式定理概念公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)称为二项式定理二项式系数各项的系数Ckn(k＝0，1，2，…，n)二项展开式C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn展开式通项Cknan－kbk是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Cknan－kbk备注在二项式定理中，令a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝1＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cknxk＋…＋xn1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)(a＋b)10的展开式中共有10项．()(2)Cknan－kbk是(a＋b)n展开式的第k项．()(3)(a＋b)n与(a－b)n的展开式的二项式系数相同．()解析：(1)错，(a＋b)10的展开式中共有11项．(2)错，Cknan－kbk是(a＋b)n展开式的第(k＋1)项．(3)对，这两个展开式的二项式系数都是Ckn.答案：(1)×(2)×(3)√2．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于()A．9B．10C．11D．8解析：因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，所以n＝11.答案：C3．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1得()A．(x－1)4B．x4C．(x＋1)4D．x5解析：原式＝[(x－1)＋1]4＝x4.答案：B4.x－1x5的展开式中含x3项的二项式系数为()A．－10B．10C．－5D．5解析：Tr＋1＝Cr5·x5－r－1xr＝(－1)rCr5·x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1.所以x3项的二项式系数为(－1)1C15＝－5.答案：C5．若在5x－1xn的展开式中，第4项是常数项，则n＝________．解析：T4＝C3n(5x)n－3·－1x3＝－C3nxn－185，由题意，知n－185＝0，得n＝18.答案：18类型1求二项展开式中的特定项或其系数(自主研析)[典例❶]已知在12x2－1xn的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．解：已知二项展开式的通项Tk＋1＝Ckn12x2n－k·－1xk＝(－1)k12n－kCknx2n－52k.(1)因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－52k＝0，解得n＝10.(2)令2n－52k＝5，得k＝25(2n－5)＝6，(3)要使2n－52k，即40－5k2为整数，只需k为偶数，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．归纳升华1.求二项展开式的特定项的常用方法：(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．2．正确区分二项式系数与该项的系数．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关．[变式训练](1)x＋ax5展开式中x3的系数为10，则a的值等于()A．－1B.12C．1D．2(2)(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________．解析：(1)Tr＋1＝Cr5·x5－r·axr＝arCr5·x5－2r，令5－2r＝3，所以r＝1.因为x3的系数为10，所以aC15＝10.所以a＝2.(2)C2n(3x)2＝54x2，即n（n－1）2＝6，解得n＝4.答案：(1)D(2)4类型2二项式定理的正用、逆用[典例2](1)二项式3x－1x4的展开式为______________________．(2)设A＝37＋C27×35＋C47×33＋C67×3，B＝C17×36＋C37×34＋C57×32＋1，则A－B＝________．解析：(1)3x－1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3－1x＋C24(3x)2－1x2＋C34(3x)－1x3＋C44－1x4＝81x2－108x＋54－12x＋1x2.(2)A－B＝37＋C27×35＋C47×33＋C67×3－C17×36－C37×34－C57×32－1＝(3－1)7＝27＝128.答案：(1)81x2－108x＋54－12x＋1x2(2)128归纳升华1.展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[变式训练](1)二项式(x＋2y)4的展开式为______________________；(2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn＝________．解析：(1)(x＋2y)4＝C04x4＋C14x3(2y)＋C24x2(2y)2＋C34x(2y)3＋C44(2y)4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4.(2)原式＝1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n.答案：(1)x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4(2)3n类型3混淆二项式系数与项的系数致误(误区警示)[典例3]设(x－2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，则含x2的项是________．易错提示：若将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中项的系数”混为一谈，则会出现错解．防范措施：二项式(a＋bx)n的展开式的二项式系数是Crn(r∈N，r≤n)，它们是一组仅与二项式的幂的指数n有关的(n＋1)个组合数，而与a，b无关，即展开式的第(r＋1)项的二项式系数Crn与第(r＋1)项的系数是不同的概念．[规范解答](x－2)n展开式的第二项与第四项分别为T2＝C1nxn－1(－2)＝－2C1nxn－1，T4＝C3nxn－3(－2)3＝－22C3nxn－3.依题意得－2C1n－22C3n＝12，即n2－3n－4＝0，解得n＝4(舍去n＝－1)．设(x－2)4展开式中Tr＋1＝Crnx4－r(－2)r.由4－r＝2，得r＝2.故(x－2)4展开式中含x2的项为T3＝C24x2(－2)2＝12x2.答案：12x2[类题尝试]已知二项式x－2x10.(1)求展开式中含x4项的系数；(2)如果第3r项和第r＋2项的二项式系数相等，求r的值．解：(1)设第k＋1项为Tk＋1＝Ck10(－2)kx10－32k.令10－32k＝4，解得k＝4，故展开式中含x4项的系数为C410(－2)4＝3360.(2)因为第3r项的二项式系数为C3r－110，第r＋2项的二项式系数为Cr＋110，所以C3r－110＝Cr＋110，故3r－1＝r＋1或3r－1＋r＋1＝10，解得r＝1或r＝2.5(不合题意，舍去)，所以r＝1.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记Cknan－kbk是展开式的第(k＋1)项，不要误认为是第k项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．