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第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2组合第1课时组合与组合数公式[学习目标]1.理解组合及组合数的概念(重点).2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单的组合问题(重点、难点).1.组合的概念(1)组合:一般地,从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫作从n不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示.温馨提示注意组合与排列的区别与联系.2.组合数公式与组合数的性质(1)组合数公式:①Cmn=AmnAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!.②Cmn=n!m!(n-m)!.(2)组合数的性质:①Cmn=______;②Cmn+1=_________.规定:C0n=1.Cn-mnCmn+Cm-1n温馨提示1.组合数公式可由排列数公式表示,注意公式的结构;2.组合数公式在n,m∈N*,且m≤n时成立,在m>n时不成立.1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”).(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘,可得C24个不同的积.()(3)C25=5×4=20.()(4)C20162017=C12017=2017.()解析:(1)对.因为只要两个组合的元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的组合.(2)对,根据组合数的定义知说法正确.(3)错,C25=5×42×1=10.(4)对,根据组合数的性质知等式成立.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√2.下列计算结果为21的是()A.A24+C26B.C77C.A27D.C27解析:C27=7×62×1=21.答案:D3.下列几个问题是组合问题的有()①从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查,有多少种不同的选法?②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学,有多少种不同的选法?③3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法?④3本相同的书分给5名同学,每人一本,有多少种分配方法?A.①②B.③④C.①③D.②④解析:①③与顺序有关,是排列问题;②④与顺序无关,是组合问题.答案:D4.甲、乙、丙三地之间有直达的火车,相互之间的距离均不相等,则车票票价的种数是________.解析:甲、乙、丙三地之间的距离不等,故票价不同,同距离两地票价相同,故该问题为组合问题,不同票价的种数为C23=3×22=3.答案:35.若Cm15=Cm-315,则m=________.解析:由题设得m=m-3或m+(m-3)=15,所以m=9.答案:9类型1组合的概念(自主研析)[典例1](1)判断下列各事件是排列问题还是组合问题.①10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),这次比赛需要进行多少场次?②10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能?③从10个人里选3个代表去开会,有多少种选法?(2)从5个不同的元素a,b,c,d,e中取出2个,写出所有不同的组合.(1)解:①是组合问题,因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别.②是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的,是有顺序的区别.③是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别.(2)要想写出所有组合,就要先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来,如图所示:由此可得所有的组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.归纳升华1.区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关,若交换某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则是组合问题.2.写组合时,一般先将元素按一定的顺序排好,然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来.[变式训练]下列问题是组合问题的有()①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流;②一个小组有7名学生,现抽调5人参加劳动;③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流.A.①②B.①③C.②③D.①②③解析:①②与顺序无关是组合问题,③与顺序有关是排列问题.答案:A类型2组合数的计算[典例2](1)计算:C9799+C9899+C99100=________;(2)求值:C5-nn+C9-nn+1=________;解析:(1)C9799+C9899+C99100=C98100+C99100=C99101=C2101=101×1002×1=5050.(2)由组合数的定义知0≤5-n≤n,0≤9-n≤n+1,解得4≤n≤5.又n∈N*,所以n=4或n=5.当n=4时,C5-nn+C9-nn+1=C14+C55=5;当n=5时,C5-nn+C9-nn+1=C05+C46=16.答案:(1)5050(2)5或16归纳升华1.涉及具体数字的可以直接用公式Cmn=AmnAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!计算.2.涉及字母的可以用阶乘式Cmn=n!m!(n-m)!计算.3.计算时应注意利用组合数的性质Cmn=Cn-mn简化运算.[变式训练](1)若C2x-120=Cx+320,则x的值为()A.4B.4或5C.6D.4或6(2)计算C17-n2n+C3n13+n.(1)解析:由C2x-120=Cx+320得2x-1=x+3或2x-1+(x+3)=20,所以x=4或x=6.答案:D(2)解:由2n≥17-n,13+n≥3n,得173≤n≤132,又n∈N*,得n=6,故C17-n2n+C3n13+n=C1112+C1819=C112+C119=31.类型3简单的组合问题[典例3]在12种产品中,有10件正品,2件次品,从这12件产品中任意抽出3件.(1)共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?解:(1)有C312=220种抽法.(2)分两步,先从2件次品中抽出1件有C12种方法;再从10件正品中抽出2件有C210种方法,所以共有C12·C210=90种抽法.(3)法一分两类,即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况,与(2)小题类似共有C12·C210+C22·C110=100种抽法.法二(间接法)从12件产品中任意抽出3种有C312种方法,其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种,所以共有C312-C310=100种抽法.归纳升华解答有限制条件的组合问题的基本方法是直接法和间接法(排除法).其中用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”的原则,优先安排特殊元素的选取,再安排其他元素的选取.而选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看解答过程是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.[变式训练]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?解:(1)从口袋的8个球中取出3个球,取法种数是C38=8×7×63×2×1=56.即从口袋内取出3个球,共有56种取法.(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球,于是还要从7个白球中再取出2个,取法种数是C27=7×62×1=21.故取出含有1个黑球的3个球,共有21种取法.(3)由于所取出的3个球中不含黑球,也就是要从7个白球中取出3个球,取法种数是C37=7×6×53×2×1=35.取出不含黑球的3个球,共有35种取法.1.组合的概念.组合的定义中包含两个基本内容:一是“取出元素”;二是“合成一组”,“合成一组”即表示与顺序无关.若两个组合中的元素完全相同,不管它们是顺序如何都是相同的组合;若两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同),则是不同的组合.2.组合与排列问题的异同.组合与排列问题的共同点是都要“从n个不同元素中,任取m个元素”;不同点是前者是“不管顺序合成一组”,而后都者要“按照一定顺序排成一列”.3.组合数、组合数、组合数公式及组合数性质.(1)“组合”与“组合数”是两个不同的概念,组合是指“从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数,它是一个数.(2)当m,n数值较大时或要对含有字母的组合数式进行变形论证时,利用公式Cmn=n!m!(n-m)!解题较方便.(3)计算组合数时,特别是m较大时,注意利用公式Cmn=Cn-mn进行转化.
本文标题:2019秋高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式课件 新人教A版选
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