2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念章末复习课课件 新人教A版必修1

第一章集合与函数概念章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确认识集合与元素的概念(1)解决集合问题的前提条件：认清集合中元素的属性(是点集、数集或是其他类型的集合)．(2)正确区分两种关系：元素与集合之间的从属关系，以及集合与集合之间的包含关系．2．处理集合问题的三个易错点(1)在写集合的子集或进行集合的运算时，易忽视集合是空集的情形，如A⊆B(B≠∅)中，要对A＝∅和A≠∅进行分类讨论．(2)运用数轴表示集合时，易忽视端点是否属于集合的情形，即表示为实心点还是空心点．(3)在解决含参数的集合问题时，易忽视检验而不满足元素的互异性致误．3．关注换元法中“新元”的范围在用换元法求函数解析式或求函数值域时，要注意“新元”的范围，“新元”的范围一般是由被替换的表达式的范围所确定．4．函数单调性定义应用中的两个易错点(1)忽视x1与x2是所给区间I上的任意两个值，而用该区间上的两个特殊值代替．(2)易出现循环论证的错误，即用所要证明的结论作为论证该问题的依据．5．判断函数奇偶性时的注意点一般不化简解析式，若要化简，应注意化简前后的等价性.专题一集合间的关系与运算集合的运算是指集合间的交、并、补集三种常见的运算，具体数集的运算一般采用数轴法，而抽象集合的运算采用Venn图法．在解含参数的集合问题时，一般要对参数进行讨论，分类时一定要标准统一，做到“不重不漏”．[例1](1)设集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{x|x(x－2)＝0}，则A∩B等于()A．{－1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{－1，0，1}D．{0，2}(2)已知集合M＝{x|－1x2}，N＝{x|xa}，若M⊆N，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，2)D．[－1，＋∞)解析：(1)集合B＝{x|x(x－2)＝0}＝{0，2}，则集合A与集合B的公共元素为0，2.故A∩B＝{0，2}．(2)因为M⊆N，所以2≤a，即a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)．答案：(1)D(2)B归纳升华1．集合是由元素构成的，研究集合中元素的构成，是求解集合运算问题的前提．2．用不等式表示的集合问题，常用数轴的直观性求解，特别要注意不等式边界值的取舍，含参数时要注意对集合是否为空集进行讨论．[变式训练](1)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0x1}(2)如图所示，U为全集，A，B为U的子集，则图中阴影部分表示的是()A．(∁UB)∪AB．A∩(∁UB)C．(∁UA)∩BD．A∩B解析：(1)因为全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以集合∁U(A∪B)＝{x|0x1}．(2)阴影中的任意元素x满足x∈A但x∉B，故x∈A∩(∁UB)．答案：(1)D(2)B专题二函数的概念函数的概念是建立在两个非空数集上的，定义域、值域和对应法则是函数的三要素．其中，定义域是研究函数问题的前提条件，而求函数的解析式、定义域、值域(最值)问题是高考的重点和热点．[例2](1)函数y＝21－1－x的定义域为()A．(－∞，1)B．(－∞，0)∪(0，1]C．(－∞，0)∪(0，1)D．[1，＋∞)(2)已知f(x)＝x＋1，x≥0，4x，x0，若f(a)＝2，则实数a＝________．解析：(1)要使函数有意义，则1－x≥0，1－1－x≠0，即x≤1，且x≠0.(2)因为当a≥0时，f(a)＝a＋1＝2，所以a＝1.当a0时，f(a)＝4a＝2，所以a＝12(舍去)．答案：(1)B(2)1归纳升华1．函数的定义域，是使得每一个含自变量的式子有意义的自变量的取值集合，因此，求函数的定义域可转化为求不等式组的解集．2．分段函数f(x)在x的不同取值范围内对应关系不同，求函数值或值域时要分段求解．[变式训练](1)若函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(2x)＋fx＋13的定义域为()A.－13，23B.－13，12C.0，12D.0，13(2)若函数y＝f(x)的值域是12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f（x）的值域是()A.12，3B.2，103C.52，103D.3，103解析：(1)由0≤2x≤1，0≤x＋13≤1，得0≤x≤12，－13≤x≤23，所以x∈0，12.(2)令t＝f(x)，则12≤t≤3，由函数g(t)＝t＋1t在区间12，1上是减函数，在[1，3]上是增函数，且g12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103，可得值域为2，103.答案：(1)C(2)B专题三函数的单调性与奇偶性函数的单调性是函数最重要的性质，函数的奇偶性是研究图象的有力工具．函数单调性与奇偶性的判定，利用奇偶性作函数的图象，利用单调性求函数的值域(最值)、求解不等式或参数的取值范围是学习的重点．[例3]已知函数f(x)，x∈R对任意的实数a，b都有f(ab)＝f(a)＋f(b)，且当x＞1时，f(x)＞0.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．思路导航：本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性．解题方法都是利用定义判定，但关键是对关系式f(ab)＝f(a)＋f(b)的合理变形应用．(1)解：令a＝b＝1，根据题意可得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.设a＝b＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0.又设a＝－1，b＝x，则f(－x)＝f(－1)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝fx1·x2x1－f(x1)＝f(x1)＋fx2x1－f(x1)＝fx2x1.因为x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，所以x2x1＞1，所以fx2x1＞0，即f(x2)－f(x1)＞0.所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．归纳升华1．单调性是函数的重要性质，某些数学问题通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、解方程(组)等方面，应用十分广泛．2．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图象的对称性，可缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[变式训练](1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10D．10(2)设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x10，且x1＋x20，则()A．f(x1)f(x2)B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)f(x2)D．无法比较解析：(1)方法一令g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知g(x)是R上的奇函数，从而g(－2)＝－g(2)，又f(x)＝g(x)－8，所以f(－2)＝g(－2)－8＝10，所以g(－2)＝18，所以g(2)＝－g(－2)＝－18.所以f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.方法二由已知条件，得f（－2）＝（－2）5＋a·（－2）3＋b·（－2）－8，①f（2）＝25＋a·23＋b·2－8，②①＋②得f(2)＋f(－2)＝－16.又f(－2)＝10，所以f(2)＝－26.(2)因为x10且x1＋x20，所以－x2x10.又f(x)在(－∞，0)上为减函数，所以f(－x2)f(x1)．而f(x)是偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)．所以f(x1)f(x2)．答案：(1)A(2)C专题四数形结合思想的应用数形结合思想是研究集合、函数的重要思想．本章中涉及数形结合的知识点：借助Venn图、数轴研究集合的交集、并集、补集；借助函数图象研究函数的单调性、对称性、奇偶性等性质．[例4]对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2|－x|＝x2－2|x|，则f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，图象关于y轴对称．(2)f(x)＝x2－2|x|＝x2－2x，x≥0，x2＋2x，x0，即f(x)＝（x－1）2－1，x≥0，（x＋1）2－1，x0.画出的图象如图所示，根据图象知，函数f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1，0]，[1，＋∞)，减区间是(－∞，－1)，(0，1)．归纳升华1．在画函数图象时，应先将函数解析式进行等价变形，变为几种常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数等)，再作出图象．2．根据函数的图象，直观地求函数的单调区间和最小值，体现了数形结合思想．[变式训练](1)设f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f(－2)＝0，则xf(x)0的解集为()A．(－2，0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2，0)∪(0，2)(2)已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)的区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．(1)解析：易知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝0，所以xf(x)0⇒x0，f（x）0＝f（2），或x0，f（x）0＝f（－2）⇒x2或x－2.答案：C(2)解：(1)设x0，则－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，如图，结合f(x)的图象知a－2－1，a－2≤1，所以1a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．