2019秋高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大（小）值（第1课时）函数的单调性

数学必修①·人教A版第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值第一课时函数的单调性1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如图：这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”.通过这条曲线能说明什么数学问题呢？•1．增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)______f(x2)f(x1)______f(x2)那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间＜＞增函数减函数图象特征函数f(x)在区间D上的图象是________的函数f(x)在区间D上的图象是________的图示上升下降•[知识点拨](1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1x2⇔f(x1)f(x2)．•(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1x2⇔f(x1)f(x2)．•2．单调性•(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的____________.•(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．增函数减函数单调区间•[归纳总结]基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间k＞0R无正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0)k＜0无Rk＞0无(－∞，0)和(0，＋∞)反比例函数(y＝kx，k≠0)k＜0(－∞，0)和(0，＋∞)无a＞0[－b2a，＋∞)(－∞，－b2a]二次函数(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)a＜0(－∞，－b2a][－b2a，＋∞)•1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有()•A．f(x1)f(x2)B．f(x1)＞f(x2)•C．f(x1)＝f(x2)D．以上都有可能•[解析]因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1x2，所以f(x1)f(x2)，故选B．B2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－xB．y＝x2＋1C．y＝1xD．y＝－x2B•[解析]分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fa－fba－b0成立，则必有()A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)是先增后减D．函数f(x)是先减后增A[解析]由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有fa－fba－b0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A．4．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(34)的大小关系为_________________________.f(a2－a＋1)≤f(34)[解析]∵a2－a＋1＝(a－12)2＋34≥34，又∵f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，∴f(a2－a＋1)≤f(34)．5．判断并证明函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．[解析]函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝(－1x1＋1)－(－1x2＋1)＝－1x1＋1x2＝x1－x2x1x2.由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x20.又由x1x2，得x1－x20.于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．互动探究学案•〔跟踪练习1〕•据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．•[解析]由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．•由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．利用函数单调性的定义证明f(x)＝1－x在(－1,1)上单调递减．命题方向2⇨用定义证明函数的单调性典例2•[思路分析]利用减函数的定义来证明，其关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．[解析]设－1x1x21，∴f(x1)－f(x2)＝1－x1－1－x2＝1－x1－1－x21－x1＋1－x21－x1＋1－x2＝x2－x11－x1＋1－x2.∵x1x2，所以x2－x10.又1－x1＋1－x20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)＝1－x在(－1,1)上单调递减．•2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．〔跟踪练习2〕(1)用函数单调性定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；(2)用函数单调性定义证明，函数y＝2xx＋1在(－1，＋∞)上为增函数．[证明](1)设x1x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝(2x21＋4x1)－(2x22＋4x2)＝2(x21－x22)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．∵x1x2≤－1，∴x1－x20，x1＋x2＋20，∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．(2)设x1x2－1，则x1－x20，x1＋10，x2＋10，y1－y2＝2x1x1＋1－2x2x2＋1＝2x1－x2x1＋1x2＋10，∴y1y2，∴函数y＝2xx＋1在(－1，＋∞)上为增函数．命题方向3⇨单调性的应用•已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)f(11＋8a)，求实数a的取值范围．•[思路分析]根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．典例3[解析]∵函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)f(11＋8a)，∴3a－711＋8a，∴a－185，∴实数a的取值范围是(－∞，－185)．•『规律方法』利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．•〔跟踪练习3〕•已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)g(1－2t)，求实数t的取值范围．[解析]∵g(x)在R上为增函数，且g(t)g(1－2t)，∴t1－2t，∴t13，即所求t的取值范围为(13，＋∞)．对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误•若函数f(x)＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是_______.•[错解]函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间(－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.•[错因分析]错解中把单调区间误认为是在区间上单调．•[正解]因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－a，所以有－a＝2，即a＝－2.－2典例4•[警示]若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f(x)在区间A上单调增(或减)和f(x)的单调增(或减)区间为A不等价．抽象函数单调性的判断与证明•所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．•设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x0时，0f(x)1.求证：•(1)f(0)＝1；•(2)x∈R时，恒有f(x)0；•(3)f(x)在R上是减函数．•[思路分析](1)可通过赋值求f(0)；(2)可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)0；(3)利用定义可证明函数的单调性．典例5[解析](1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.(2)由题意知x0时，0f(x)1；当x＝0时，f(0)＝10；当x0时，－x0，∴0f(－x)1.∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝1f－x0.故x∈R时，恒有f(x)0.•(3)设x1，x2∈R，且x1x2，•则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，•∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．•由(2)知f(x1)0，又x2－x10，∴0f(x2－x1)1，•故f(x2)－f(x1)0，∴f(x)在R上是减函数．『规律方法』一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型[即给出f(x＋y)所具有的性质，如本例]，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·x2x1)即可．•1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是()•A．[0,1]•B．[－4，－3]∪[1,4]•C．[－3,1]•D．[－3,4]•[解析]结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．C2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是()A．(－∞，13)B．(13，＋∞)C．(－∞，13]D．[13，＋∞)B[解析]f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞13，故选B．•3．(2019·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则()•A．f(a)f(2a)B．f(a2)f(a)•C．f(a2＋a)f(a)D．f(a2＋1)f(a)D[解析]∵a2＋1－a＝(a－12)2＋340，∴a2＋1a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴f(a2＋1)f(a)．•4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是________________________.•[解析]由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．(－∞，1)和(1，＋∞)5．求证：函数f(x)＝1x2在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．[证明]对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝1x21－1x22＝x22－x21x21x22＝x2－x1x2＋x1x21x22.因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，x21x22＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2