2019秋高中数学 第三章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离课件 新人教A版必修2

第三章直线与方程3．3.3点到直线的距离3．3.4两条平行直线间的距离[学习目标]1.了解点到直线的距离公式的推导．2.理解两条平行直线间的距离与点到直线的距离的关系，会求两平行线间的距离(重点)．3.掌握点到直线的距离公式及两平行线间的距离公式，并能利用点到直线的距离公式解决实际问题(重点、难点)．[知识提炼·梳理]点到直线的距离与两条平行线间的距离距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2温馨提示(1)应用点到直线的距离公式，直线方程须先化为一般式方程．(2)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点(m，n)到直线x＋y－1＝0的距离是m＋n－12.()(2)连接两条平行直线上两点，即得两平行线间的距离．()(3)两平行线间的距离是两平行线上两点间距离的最小值．()解析：(1)距离应是|m＋n－1|2，故(1)不正确．(2)两平行线间距离是两平行线间的垂线段长，并不是直线上任意两点距离，故(2)不正确．(3)由平行线间距离定义知(3)正确．答案：(1)×(2)×(3)√2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()A．1B.3C．2D.5解析：d＝|－5|5＝5.答案：D3．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为()A．1B.2C.3D．2解析：由题意知两直线平行，在l1上取一点(1，－2)，则该点到直线l2的距离为|1－2－1|12＋12＝2.答案：B4．若P(0，a)到直线x＋y－1＝0的距离为2，则a＝________．解析：由题意可知得|0＋a－1|12＋12＝2，解得a＝3或a＝－1.答案：3或－15．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为________．解析：|PQ|的最小值即为两平行线之间的距离，故|PQ|min＝|－12－3|32＋42＝155＝3.答案：3类型1点到直线的距离(自主研析)[典例1](1)已知点P(1，1)，Q为直线x＋y－1＝0上任意一点，那么|PQ|的最小值是()A．1B．2C.22D.2(2)已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．解析：(1)|PQ|的最小值是点P(1，1)到直线x＋y－1＝0的距离，所以|PQ|min＝|1＋1－1|12＋12＝22.(2)设P(a，0)，则有|3a－4×0＋6|32＋（－4）2＝6，解得a＝－12或a＝8，所以点P的坐标为(－12，0)或(8，0)．答案：(1)C(2)(－12，0)或(8，0)归纳升华应用点到直线的距离公式应注意的三点1．直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化为一般式．2．点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．3．直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[变式训练]若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于2，则a的取值范围是()A.0，263B.3，263C．[2，26]D.2，263解析：由题意|4×4－3a|42＋（－3）2≤2，解得2≤a≤263.答案：D类型2两条平行直线间的距离[典例2]求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0，由直线l与两条平行线的距离相等，得|C－4|22＋32＝|C＋2|22＋32，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.归纳升华1．求两条平行线间的距离问题可转化为点到直线的距离问题来解决．2．若利用平行线间的距离公式求解时，首先要保证两条平行线方程中x，y的系数统一，否则不能直接使用．[变式训练](1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．解析：(1)由题意，得63＝m1，所以m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，由两平行线间的距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104.(2)设直线l的方程为2x－y＋C＝0，由题意，得|3－C|22＋12＝|C＋1|22＋12，解得C＝1，所以直线l的方程为2x－y＋1＝0.答案：(1)104(2)2x－y＋1＝0类型3距离的综合应用(规范解答)[典例3](本小题满分12分)求经过两直线l1：x－3y－4＝0与l2：4x＋3y－6＝0的交点，且和点A(－3，1)的距离为5的直线l的方程．审题指导：根据两直线相交，首先求出交点坐标，然后再根据点斜式设出直线方程，但需要讨论斜率k是否存在两种情况．[规范解答]由x－3y－4＝0，4x＋3y－6＝0，解得x＝2，y＝－23，即直线l过点B2，－23.(2分)①当l与x轴垂直时，方程为x＝2，点A(－3，1)到l的距离d＝|－3－2|＝5，满足题意.(4分)失分警示：若忽略对斜率k的讨论，扣去2分.②当l与x轴不垂直时，设斜率为k，则l的方程为y＋23＝k(x－2)，即kx－y－2k－23＝0，(5分)由点A到l的距离为5，得－3k－1－2k－23k2＋（－1）2＝5，解得k＝43.(8分)所以l的方程为43x－y－83－23＝0，(10分)即4x－3y－10＝0.(11分)综上，所求直线方程为x＝2或4x－3y－10＝0.(12分)失分警示：若漏掉此处扣去1分.归纳升华在解决有关直线方程涉及斜率的问题时，要加强分类讨论的意识，如本例中已知直线过定点求直线方程时，应对斜率是否存在进行分类讨论．[变式训练]两条互相平行的直线分别过点A(6，2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.(1)求d的取值范围；(2)求d取最大值时，两条直线的方程．解：(1)设经过A点和B点的直线分别为l1，l2，显然当l1⊥AB，l2⊥AB时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|＝（－3－6）2＋（－1－2）2＝310.所以d的取值范围为(0，310]．(2)由(1)知dmax＝310，此时k＝－3，两直线的方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.1．点到直线的距离公式是本节的重要公式，其用途十分广泛，在使用此公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．2．点到直线的距离的特殊形式：P(x0，y0)到直线y＝b的距离为|y0－b|，到直线x＝a的距离为|x0－a|；若P(x0，y0)在直线上，公式也适用，此时d＝0.3．在求两平行线间的距离时要注意首先将两直线方程中x，y的系数化为相同的.