2019秋高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第2课时 线性规划的实际应用课件

第三章不等式第2课时线性规划的实际应用[学习目标]1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题，建立数学模型．2.掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．3.线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．[知识提炼·梳理]线性规划在实际问题中的题型主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．()(2)当线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，最优解可能有无数个．()答案：(1)×(2)√2．若满足条件x－y≥0，x＋y－2≤0，y≥a的整点(x，y)(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a的值为()A．－3B．－2C．－1D．0解析：不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点，分别为(1，1)，(0，0)，(1，0)，(2，0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，所以a＝－1.答案：C3．某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，租金为z元，则36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21，x，y∈N*.画出可行域(如图中阴影部分内的整点)，则目标函数z＝1600x＋2400y在点(5，12)处取得最小值，zmin＝36800(元)．答案：C4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨甲、乙产品所需原料及每天原料的可用限额如下表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为()项目甲乙原料限额A/吨3212B/吨128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨，每天获得的利润为z万元，则有z＝3x＋4y，由题意得，x，y满足约束条件3x＋2y≤12，x＋2y≤8，x≥0，y≥0，不等式组表示的可行域是以O(0，0)，A(4，0)，B(2，3)，C(0，4)为顶点的四边形及其内部．根据线性规划的有关知识，当直线3x＋4y－z＝0过点B(2，3)时，z取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．答案：D5．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等限制条件，得线性约束条件为1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x∈N，y∈N，目标函数z＝2100x＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，目标函数在(60，100)处取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．答案：216000类型1线性规划的实际应用问题[典例1]某公司计划2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300min的广告，广告费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min.已知甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解：设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为xmin和ymin，总收益为z元．由题意，得x＋y≤300，500x＋200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数z＝3000x＋2000y.二元一次不等式组等价于x＋y≤300，5x＋2y≤900，x≥0，y≥0，作出可行域如图阴影部分所示，当直线z＝3000x＋2000y过点M时，z最大．由x＋y＝300，5x＋2y＝900得M(100，200)．所以zmax＝3000×100＋2000×200＝700000(元)＝70(万元)．所以该公司在甲电视台做100min广告，在乙电视台做200min广告，公司收益最大，最大值为70万元．归纳升华解答线性规划应用题的一般步骤．1．审题——仔细阅读，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，起关键作用的变量有哪些，由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，有时可借助表格来理顺．2．转化——设元．写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．3．求解——解这个纯数学的线性规划问题．4．作答——对应用题提出的问题作出回答．[变式训练]某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据题意，得约束条件x＋y≤70，10x＋6y≤480，x∈N，y∈N，目标函数z＝280x＋200y，画出可行域如图所示(阴影部分中的整点)．作直线7x＋5y＝0平移至过点A时z取得最大值，由x＋y＝70，10x＋6y＝480，得最优解A(15，55)．所以当x＝15，y＝55时，z取得最大值．答案：B类型2线性规划中的最优整数解问题[典例2]某人有一幢楼房，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大客房每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元．装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？解：设他应隔出大房间x间，小房间y间，获得的收益为z元，由题意可得18x＋15y≤180，1000x＋600y≤8000，且x，y∈N，即6x＋5y≤60，5x＋3y≤40，x≥0，y≥0，且x，y∈N.目标函数为z＝200x＋150y，即y＝－43x＋z150，画出可行域如图阴影部分所示．直线y＝－43x，平移到经过B点时，z取得最大值，但B207，607并非整点，故要进一步搜索．利用B207，607附近的网格，可在B附近找到A(2，9)、C(2，8)、D(3，8)这几个整点．因为斜率为－43，故在直线平移过程中，必先过D点，因此A、C两点被排除，利用网格知(0，12)，(3，8)为最优整点解．所以他隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．归纳升华寻找整点最优解的三种方法1．平移找解法：先打网格，描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解．应用这种方法时应充分利用整点最优解的信息，结合精确的作图才行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．2．小范围搜寻法：即将求出的非整点最优解附近的整点都求出来，代入目标函数，直接求出目标函数的最大(小)值．3．调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再调整最优值，最后筛选出整点最优解．[变式训练]某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A，B，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排、通过调查，有关数据如下表：项目产品A产品B搭载要求研制成本与搭载实验费用之和/(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品质量/(千克/件)105最大搭载质量110千克预计收益/(万元/件)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？解：设搭载产品A：x件，产品B：y件，预计总收益为z万元，则目标函数为z＝80x＋60y.由题意，得20x＋30y≤300，10x＋5y≤110，x≥0，y≥0，x，y∈N.即2x＋3y≤30，2x＋y≤22，x≥0，y≥0，x，y∈N.画出可行域，如图所示．将z＝80x＋60y变形为y＝－43x＋z60.作出直线l0：4x＋3y＝0，并将其向右上方平移，由图象可知，当直线l0经过点M(整点)时，z能取得最大值．由2x＋3y＝30，2x＋y＝22，解得x＝9，y＝4，即M(9，4)．所以zmax＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载9件产品A，4件产品B，可使得总预计收益最大，最大为960万元．1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，应具体情况具体分析．