2019秋高中数学 第三章 不等式 3.1 不等式关系与不等式课件 新人教A版必修5

第三章不等式3．1不等关系与不等式[学习目标]1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.初步学会作差法比较两实数的大小(重点)．3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．(难点)[知识提炼·梳理]1．不等关系现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，不等关系常用①不等式表示．2．比较实数a，b大小的依据依据如果②a－b0，那么ab如果③a－b0，那么ab如果④a－b＝0，那么a＝b结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的⑤差与⑥0的大小关系3.不等式的性质性质名称性质内容1对称性ab⇔⑦ba2传递性ab，bc⇒⑧ac3可加性ab⇔a＋c⑨b＋cabc0⇒ac⑩bc4可乘性abc0⇒ac⑪bc5同向可加性abcd⇒a＋c⑫b＋d6同向同正可乘性ab0cd0⇒ac⑬bd7可乘方性ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)8可开方性ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式x≥2的含义是指x不小于2.()(2)若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确．()(3)若a＞b，则ac＞bc一定成立．()(4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d.()解析：(1)正确．不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2，故此说法是正确的．(2)正确．不等式a≤b表示a＜b或a＝b.故若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此由a＞b，则ac＞bc，不一定成立，故此说法是错误的．(4)错误．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误．答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A．5x＋4y200B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200D．5x＋4y≤200解析：据题意知，500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.答案：D3．若M＝x2，N＝－x－1，x∈R，则M与N的大小关系是()A．MNB．M＝NC．MND．与x有关解析：M－N＝x2＋x＋1＝x＋122＋340.所以MN.答案：A4．已知ab0，那么()A．a2b2B.ab1C．a3b3D.1a1b解析：A项，因为函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，ab0，所以a2b2，故A不正确；B项，因为ab0，所以abbb＝1，故B不正确；C项，因为函数y＝x3为R上的增函数，ab，所以a3b3，故C不正确；D项，因为函数y＝1x在(－∞，0)上单调递减，ab0，所以1a1b，故D正确．答案：D5．若x＞1，y＞2，则：(1)2x＋y＞________；(2)xy＞________．解析：(1)x＞1⇒2x＞2，2x＋y＞2＋2＝4；(2)xy＞2.答案：(1)4(2)2类型1用不等式(组)表示不等关系[典例1]分别写出满足下列条件的不等式：(1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大，且这个两位数小于30；(2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．解：(1)y＞x＞0，30＞10x＋y＞9，且x，y∈N*；(2)x≥3，y≥2，60x＋70y≤500，且x，y∈N*.归纳升华1．将不等关系表示成不等式(组)的思路如下：(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．(3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题：在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质的量才可以进行比较，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[变式训练]某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元？解：由题意得销售的总收入为8－x－2.50.1×0.2x万元．由不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以得到不等式8－x－2.50.1×0.2x≥20.类型2数(式)大小的比较(互动探究)[典例2](1)已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小；(2)已知a，b∈(0，＋∞)，试比较aabb与(ab)a＋b2的大小．解：(1)(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.因为x＜1，所以x－1＜0，又x－122＋34＞0，所以(x－1)x－122＋34＜0.所以x3－1＜2x2－2x.(2)aabb（ab）a＋b2＝aa－a＋b2bb－a＋b2＝aa－b2bb－a2＝aba－b2.①若a＝b0，则ab＝1，a－b＝0，所以aba－b2＝1，所以aabb＝(ab)a＋b2；②若ab0，则ab1，a－b0，由指数函数的性质，可知aba－b21，所以aabb(ab)a＋b2；③若0ab，则0ab1，a－b0，由指数函数的性质，可知aba－b21，所以aabb(ab)a＋b2.综上所述，aabb≥(ab)a＋b2.归纳升华1．作差法比较两个数(式)大小的步骤及变形方法．(1)比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化．2．作商法比较两个数(式)大小的步骤及适用范围．(1)作商法比较两个数(式)大小的步骤：①作商变形．②与1比较大小．③得出结论．(2)作商法比较两个数(式)大小的适用范围：①要比较的两个数同号．②比较“幂，指数，对数，含绝对值的两个数”的大小．[变式训练](1)若m＞2，比较mm与2m的大小；(2)求证：a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.(1)解：因为mm2m＝m2m，又因为m＞2，所以m2＞1，所以m2m＞m20＝1，所以mm＞2m.(2)证明：因为a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.类型3不等式的性质及其应用[典例3]对于实数a，b，c，有下列说法：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；④若cab0，则ac－abc－b；⑤若ab，1a1b，则a0，b0.其中正确的是________(填序号)．解析：①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac2bc2，知c≠0，故c20，所以ab成立，故②正确．③中，ab，a0⇒a2ab，ab，b0⇒abb2，所以a2abb2，故③正确．④中，ab0⇒－a－b⇒c－ac－b.因为ca，所以c－a0.所以0c－ac－b.上式两边同乘1（c－a）（c－b），得1c－a1c－b0.又因为ab0，所以ac－abc－b，故④正确．⑤中，由题意得ab⇒a－b0，1a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0.因为b－a0，所以ab0.又因为ab，所以b0，a0，故⑤正确．综上可知，②③④⑤都是正确的．答案：②③④⑤归纳升华1．不等式判断正误的两种方法．(1)直接法．对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．(2)特殊值法．取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质证明不等式注意事项．(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[变式训练](1)给出下列结论：①若a＜b，则ac2＜bc2；②若1a＜1b＜0，则a＞b；③若a＞b，c＞d.则a－c＞b－d；④若a＞b.c＞d，则ac＞bd.其中正确的结论的序号是________．(2)若bc－ad≥0，bd＞0，求证：a＋bb≤c＋dd.(1)解析：①当c≠0时，由a＜b，可得ac2＜bc2，当c＝0时，由a＜b，得不出ac2＜bc2，故①错；②因为1a＜1b＜0，所以a＜0，b＜0，所以ab＞0，所以1a·ab＜1b·ab，即a＞b，②正确；③因为c＞d，所以－c＜－d，又a＞b，两个不等式的方向不同向，不能相加，所以a－c＞b－d错误；④a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－4满足条件，但ac＞bd不成立，故④错误．答案：②(2)证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b(c＋d)≥d(a＋b)．又bd＞0，两边同除以bd得，a＋bb≤c＋dd.类型4利用不等式的性质求取值范围[典例4](1)若1α3，－4β2，则α－|β|的取值范围是________．(2)①已知－π2≤αβ≤π2，求α－β的取值范围；②若α，β满足－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．(1)答案：(－3，3)．(2)解：①由－π2≤αβ≤π2知，α－β0，且－π2≤α≤π2，－π2≤－βπ2，解得－π≤α－β0，即α－β∈[－π，0)．②设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)·α＋(x＋2y)β.由x＋y＝1，x＋2y＝3，解得x＝－1，y＝2.因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，所以两式相加，得1≤α＋3β≤7.归纳升华利用不等式的性质求取值范围的策略1．建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的取值范围．2．同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．[变式训练]已知12a60，15b36，则a－b的取值范围为________，ab的取值范围为________．答案：(－24，45)13，41．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b.2．关于处理带等号的情况：由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可推得a＞c，而a≥b，b≥c不一定可以推得a＞c，可能是a＞c，也可能是a＝c.