2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 抛物线方程及

第二章圆锥曲线与方程第2课时抛物线方程及性质的应用[学习目标]1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法(重点)．2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题(难点)．[知识提炼·梳理]1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的位置关系有相离、相切、相交．(2)直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有1个交点．温馨提示直线与抛物线只有一个公共点时，不只直线与抛物线相切的情况，还有直线与抛物线的对称轴平行的情况，但是是相交而非相切．2．弦长公式设直线l的方程为：y＝kx＋m，抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，直线与抛物线相交，两个交点为P1，P2，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则弦长|P1P2|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.[思考尝试·夯基]1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2B．－1C．2D．3解析：由y2＝8x，y＝kx－2，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则4（k＋2）k2＝4，即k＝2或k＝－1，又由Δ＝16(k＋2)2－16k20，知k＝2.答案：C2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A.14，±24B.18，±24C.14，24D.18，24答案：B3．抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为()A．(1，2)B．(0，0)C.12，1D．(1，4)答案：C4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．解析：因为过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍，所以所求抛物线方程为x2＝±16y.答案：x2＝±16y5．已知直线x－y＋1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________．答案：－14类型1直线与抛物线的位置关系(自主研析)[典例1]已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有一个公共点、两个公共点、没有公共点？解：将l和C的方程联立得y＝kx＋1，y2＝4x，消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，方程(*)只有一个解，为x＝14，此时y＝1.所以直线l与C只有一个公共点14，1，此时直线l平行于x轴．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，(1)当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；(3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个共点；当k＜1且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k＞1时，直线l与C没有公共点．归纳升华1．设直线l：y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无交点．(2)若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．设直线l：x＝m，抛物线y2＝2px(p＞0)．当m＜0时，直线与抛物线相离，无交点；当m＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当m＞0时，直线与抛物线相交，有两个交点．2．研究直线与抛物线的位置关系，要注意直线的斜率是否存在，直线过焦点时，要注意焦点弦公式的利用．[变式训练]已知抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，O为坐标原点．(1)求证：l与C必有两交点；(2)设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．解：(1)联立抛物线C：y＝2x2和直线l：y＝kx＋1，可得2x2－kx－1＝0，所以Δ＝k2＋80，所以l与C必有两个交点．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1x1＋y2x2＝1，①因为y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋1x1＋1x2＝1，②由(1)可得x1＋x2＝12k，x1x2＝－12，代入②得k＝1.类型2直线被抛物线所截的弦长问题[典例2]设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为35，求b的值．解：由y＝2x＋b，y2＝4x，消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ＞0，得b＜12.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝b24，所以|x1－x2|＝（x1＋x2）2－4x1x2＝1－2b，所以|AB|＝1＋22|x1－x2|＝5·1－2b＝35，所以1－2b＝9，解得b＝－4＜12，所以b的值为－4.归纳升华1．直线与抛物线相交题和求解直线与椭圆、双曲线相交题方法上类似，常用韦达定理和设而不求的解题方法．2．涉及弦长时，常用韦达定理来表示弦长或借助弦长公式求其他量．[变式训练]顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．解：设抛物线方程为：x2＝ay(a≠0)，由方程组x2＝ay，x－2y－1＝0.消去y，得2x2－ax＋a＝0，因直线与抛物线有两个交点，所以Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝a2，x1x2＝a2，y1－y2＝12(x1－x2)，弦长为|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝54（x1－x2）2＝54[（x1＋x2）2－4x1x2]＝145（a2－8a）.因为|AB|＝15，所以145（a2－8a）＝15，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12.所以所求抛物线方程为：x2＝－4y或x2＝12y.类型3抛物线几何性质的综合应用[典例3]如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0，2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．证明：(1)依题意可设直线AB的方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.直线AO的方程为y＝y1x1x，BD的方程为x＝x2，则有交点D的坐标满足x＝x2，y＝y1x2x1，注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1x1x2x21＝－8y14y1＝－2.因此动点D在定直线y＝－2(x≠0)上．(2)依题设，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(b≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N12a＋a，2，N2－2a＋a，－2，则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－2a＋a2＝8，即|MN2|2－|MN1|2为定值，定值为8.归纳升华应用抛物线性质解题的常用技巧1．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．2．圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值；也常用特值探路法找定点、定值．3．抛物线的中点弦问题用点差法较简便．4．轴对称问题：一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．[变式训练]过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求弦AB所在直线的方程．解：法一设以点Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝8x1，y22＝8x2，所以(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，所以y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝y1－y2x1－x2，所以k＝4.所以弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.法二设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.联立y2＝8x，y＝k（x－4）＋1，消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是弦AB端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝8k.又y1＋y2＝2，所以k＝4.所以弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.1．求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线动点的规律，一般用定义法．2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x或y的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，应注意“点差法”的运用.