2019秋高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2.1 条件概率课件 新人教A版选修2-3

第二章随机变量及其分布2．2二项分布及其应用2．2.1条件概率[学习目标]1.通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义(重点)．2.掌握求条件概率的两种方法(难点)．3.利用条件概率公式解决一些简单的问题(重点、难点)．1．条件概率条件设A，B为两个事件，且P(A)＞0含义在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记作P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率计算公式①缩小样本空间法：P(B|A)＝n（AB）n（A）②公式法：P(B|A)＝P（AB）P（A）温馨提示注意P(B|A)与P(AB)的区别：P(B|A)的值是AB发生相对于事件A发生的概率的大小；而P(AB)是AB相对于原来的总空间而言的概率．2．条件概率的性质(1)有界性：0≤P(B|A)≤1；(2)可加性：如果B和C是互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0.()(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1.()(3)P(B|A)与P(A|B)相同．()解析：(1)对，因为事件A与B互斥，所以事件A发生的条件下，事件B不会发生．(2)对，因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生．(3)错，由条件概率的概念该说法错误．答案：(1)√(2)√(3)×2．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点不相同”，B为“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于()A.49B.29C.12D.13解析：由题意可知．n(B)＝C1322＝12，n(AB)＝A33＝6.所以P(A|B)＝n（AB）n（B）＝612＝12.答案：C3．已知P(AB)＝15，P(A)＝35，则P(B|A)＝()A.115B.13C.325D.23解析：P(B|A)＝P（AB）P（A）＝15÷35＝13.答案：B4．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是()A.35B.34C.12D.310解析：在第一次取到白球的条件下，在第二次取球时，袋中有2个白球和2个黑球共4个球，所以取到白球的概率P＝24＝12.答案：C5．某地区气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，则在下雨天里，刮风的概率为________．解析：设事件A为下雨，事件B为刮风，由题意知P(A)＝415，P(B)＝215，P(AB)＝110，P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110415＝38.答案：38类型1利用定义求条件概率(自主研析)[典例1]掷两颗均匀的骰子，问：(1)至少有一颗是6点的概率是多少？(2)在已知它们点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率又是多少？解：(1)对两颗骰子加以区别，则共有36种不同情况，它们是等可能的．设A＝“至少有一颗是6点”，则事件A共包含11种不同情况，所以P(A)＝1136.(2)由(1)知，共有36种不同情况．又设B＝“两颗骰子点数不同”，则事件AB共包含10种不同情况．所以P(AB)＝1036＝518，P(B)＝3036＝56.所以P(A|B)＝P（AB）P（B）＝13.归纳升华用定义法求条件概率P(B|A)的步骤1．分析题意，弄清概率模型；2．计算P(A)，P(AB)；3．代入公式求P(B|A)＝P（AB）P（A）.[变式训练](1)将三颗骰子各掷一次，记事件A表示“三个点数都不相同”，事件B表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于()A.91216B.518C.6091D.12(2)任意向(0，1)区间内投掷一个点，用x表示该点的坐标，则Ω＝{x|0x1}，事件A＝{x|0x0.5}，B＝{x|0.25x1}，则P(B|A)＝________．解析：(1)事件B发生的基本事件个数是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同时发生的基本事件个数为n(AB)＝3×5×4＝60.故P(A|B)＝n（AB）n（B）＝6091.(2)由题意知A∩B＝{x|0.25x0.5}，所以P(AB)＝0.5－0.251－0＝0.25，又P(A)＝0.5－01－0＝0.5，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.250.5＝12.答案：(1)C(2)12类型2缩小基本事件范围求条件概率(互动探究)[典例2]集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.[迁移探究1]在典例2条件下，求乙抽到偶数的概率．解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝915＝35.[迁移探究2]若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．答案：甲抽到的数大于4的情形有(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5，2)，(6，1)，共2个．所以P(B|A)＝212＝16.归纳升华将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝n（AB）n（A），这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．类型3条件概率的性质及其应用[典例❸]甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．解：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C28＝28，这个产品都是次品的事件数为C23＝3.所以这2个产品都是次品的概率为328.(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝C25C28＝514，P(B2)＝C15C13C28＝1528，P(B3)＝C23C28＝328，P(A|B1)＝69，P(A|B2)＝59，P(A|B3)＝49，所以P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝514×69＋1528×59＋328×49＝712.归纳升华利用条件概率的性质解题的方法1．分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．[变式训练]某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个学生作为学生代表．(1)求选到的是第一组学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率．解：设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”．(1)由题意，P(A)＝1040＝14.(2)要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因此，P(A|B)＝415.1．条件概率．(1)条件概率揭示了P(A)，P(AB)及P(B|A)三者之间的关系，即若P(A)＞0，有P(AB)＝P(A)·P(B|A)或P(B|A)＝P（AB）P（A），反映了“知二求一”的关系．(2)条件概率的计算方法有两种：①利用定义计算，先分别计算概率P(AB)和P(A)，然后代入公式P(B|A)＝P（AB）P（A）.②利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝n（AB）n（A）.2．条件概率的性质．如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．注意：利用该公式可使求有些条件概率较为简捷，但应注意这个性质在“B与C互斥”这一前提下才具备的，因此不要忽视这一条件而乱用这个公式．