2019秋高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 等差数列的概念与通项公式课件 新人教A

第二章数列2．2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式[学习目标]1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式．(重点)2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．(难点)3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．[知识提炼·梳理]1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．(2)公差：这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．(3)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．2．等差中项若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，并且A＝a＋b2．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)根据等差数列的通项公式，可以求出数列中的任意一项．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()解析：(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d＞0时为递增数列；d＝0时为常数列；d＜0时为递减数列．(3)正确．只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项．(4)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为()A．2B．3C．－2D．－3答案：C3．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为()A．－1B．1C．3D．4解析：因为三个数2a，3，a－6成等差数列，所以2a＋a－6＝6，解得a＝4.答案：D4．下列命题：①数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是()A．①②B．①③C．②③④D．③④解析：②③④正确，①中公差为－2.答案：C5．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝______________．解析：利用等差数列的通项公式求解．设等差数列公差为d，则由a3＝a22－4，得1＋2d＝(1＋d)2－4，所以d2＝4，所以d＝±2.由于该数列为递增数列，所以d＝2.所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.答案：2n－1类型1等差数列的通项公式及其应用[典例1](1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求a15的值．解：(1)因为a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，得a1＝－2，d＝3，所以an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，所以通项公式an＝3n－5(n∈N*)．(2)法一(方程组法)由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74，解得a1＝114，d＝－34，所以a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×－34＝－314.法二(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34，所以a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.归纳升华在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成关于a1，d的方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[变式训练](1)已知数列3，9，15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的第________项()A．12B．13C．14D．15(2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？(1)解析：an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.答案：C(2)解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，由已知a1＋（15－1）d＝33，a1＋（61－1）d＝217，解得a1＝－23，d＝4.所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第45项．类型2等差中项的应用[典例2]在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．解：法一因为－1，a，b，c，7成等差数列，所以b是－1与7的等差中项，所以b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，所以a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，所以c＝3＋72＝5.法二设a1＝－1，a5＝7.所以7＝－1＋(5－1)d⇒d＝2，an＝－1＋(n－1)·2＝2n－3，所以所求的数列为－1，1，3，5，7.归纳升华1．等差中项A＝a＋b2⇔a，A，b成等差数列．2．用等差中项an＋1＝12(an＋an＋2)可以证明一个数列为等差数列．[变式训练](1)2－1与12－1的等差中项为________．(2)已知1a，1b，1c成等差数列．求证：b＋ca，a＋cb，a＋bc也成等差数列．(1)解析：由题知，等差中项为2－1＋12－12＝2－1＋2＋12＝2.答案：2(2)证明：因为1a，1b，1c成等差数列，所以2b＝1a＋1c，即2ac＝b(a＋c)．因为b＋ca＋a＋bc＝c（b＋c）＋a（a＋b）ac＝c2＋a2＋b（a＋c）ac＝a2＋c2＋2acac＝2（a＋c）2b（a＋c）＝2（a＋c）b，所以b＋ca，a＋cb，a＋bc成等差数列．类型3等差数列的判定[典例3]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2anan＋2.(1)数列1an是否为等差数列？说明理由；(2)求an.解：(1)数列1an是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝2anan＋2，所以1an＋1＝an＋22an＝12＋1an，所以1an＋1－1an＝12.即1an是首项为1a1＝12，公差为d＝12的等差数列．(2)由上述可知1an＝1a1＋(n－1)d＝n2，所以an＝2n.归纳升华利用等差数列定义判定数列的步骤1．求第二项与第一项的差(常数)．2．验证以后的每一项与其前一项的差是否等于同一个常数．3．根据等差数列的定义，判定该数列是否为等差数列．[变式训练](1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列；(2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明an2n为等差数列，并求{an}的通项公式．证明：(1)因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d.它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列．(2)由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以an＋12n＋1－an2n＝2an＋2n＋12n＋1－an2n＝1，所以an2n是以1为首项，1为公差的等差数列．所以an2n＝1＋(n－1)×1＝n.所以an＝n·2n.1．判断一个数列是等差数列的常用方法有：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．