2019秋高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数及其性

第二章基本初等函数（Ⅰ）第2课时对数函数及其性质的应用[学习目标]1.进一步加深理解对数函数的概念(重点)．2.掌握对数函数的性质及其应用(重点、难点)．[知识提炼·梳理]1．反函数的概念对数函数y＝logax(a0，且a≠1)和y＝ax(a0，且a≠1)互为反函数．温馨提示指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域．2．对y＝logaf(x)型函数性质的研究(1)定义域：由f(x)0解得x的取值范围，即为函数的定义域．(2)值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域．(3)单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)．(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．(5)最值：在f(x)0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值．温馨提示此类函数性质的研究必须抓住两点：一是先求出原函数的定义域，二是在定义域内求出函数的单调区间，然后由函数的单调性求出其最值或参数的取值范围．[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝3x与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称．()(2)f(x)＝ln(x2－1)是偶函数．()(3)f(x)＝log5(x＋3)的单调区间与y＝x＋3的单调区间相同．()解析：(1)对，函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，图象关于直线y＝x对称．(2)对，因为函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝ln(x2－1)＝f(x)，所以该函数是偶函数．(3)错，f(x)＝log5(x＋3)的单调递增区间是(－3，＋∞)，y＝x＋3的单调递增区间是(－∞，＋∞)．答案：(1)√(2)√(3)×2．关于函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性的叙述正确的是()A．f(x)在12，＋∞上是增函数B．f(x)在12，＋∞上是减函数C．f(x)在－∞，12上是增函数D．f(x)在－∞，12上是减函数解析：由1－2x0，得x12，所以f(x)＝log12(1－2x)的定义域为－∞，12.由于底数12∈(0，1)，所以函数f(x)＝log12(1－2x)的单调性与y＝1－2x的单调性相反．因为y＝1－2x在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f(x)在－∞，12上是增函数．答案：C3．若y＝loga(3a－1)恒为正值，则a的取值范围为()A.13，＋∞B.13，23C.1，＋∞D.13，23∪(1，＋∞)解析：因为y＝loga(3a－1)恒为正值，所以0a1，03a－11或a1，3a－11，解得13a23或a1.答案：D4．已知f(x)是函数y＝log2x的反函数，则y＝f(1－x)的图象是()解析：函数y＝log2x的反函数是y＝2x，故f(x)＝2x，于是f(1－x)＝21－x＝12x－1，此函数在R上为减函数，其图象经过点(0，2)，只有选项C中的图象符合要求．答案：C5．函数f(x)＝log2(x＋1)＋1(3≤x≤7)的值域是________．解析：因为3≤x≤7，所以4≤x＋1≤8，所以2≤log2(x＋1)≤3，3≤log2(x＋1)＋1≤4.答案：[3，4]类型1反函数的概念(自主研析)[典例1](1)函数y＝1ax与y＝logbx互为反函数，则a与b的关系是()A．ab＝1B．a＋b＝1C．a＝bD．a－b＝1(2)求下列函数的反函数．①y＝10x；②y＝45x；③y＝log13x；④y＝log7x.(1)解析：y＝logbx的反函数为y＝bx，所以函数y＝bx与函数y＝1ax是同一个函数，所以b＝1a，即ab＝1.答案：A(2)解：①指数函数y＝10x的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lgx(x0)．②指数函数y＝45x的底数是45，它的反函数是对数函数y＝log45x(x0)．③对数函数y＝log13x的底数是13，它的反函数是指数函数y＝13x.④对数函数y＝log7x的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.归纳升华1．求解反函数问题应紧扣反函数的定义．2．反函数的性质：(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．(2)若(a，b)是函数y＝f(x)图象上的一点，则(b，a)是其反函数图象上的一点．[变式训练]点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数的图象上，则f12＝()A．－2B．2C．－1D．1解析：因为点(2，4)在函数f(x)＝logax的反函数图象上，所以点(4，2)在函数f(x)＝logax的图象上，所以2＝loga4，即a2＝4，得a＝2，所以f12＝log212＝－1.答案：C类型2解简单的对数不等式[典例2]解不等式：(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)．(2)loga(x－4)－loga(2x－1)0(a0且a≠1)．解：原不等式等价于2x＋30，5x－60，2x＋3≥5x－6，解得65x≤3.所以不等式的解集为x65x≤3.(2)原不等式化为loga(x－4)loga(2x－1)．当a1时，不等式等价于x－40，2x－10，x－42x－1，无解．当0a1时，不等式等价于x－40，2x－10，x－42x－1，解得x4.综上可知，当a1时，解集为∅；当0a1时，解集为{x|x4}．归纳升华解常见对数不等式的方法1．形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论．2．形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式形式，再借助y＝logax的单调性求解．3．形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解．[变式训练]解下列不等式：(1)log17xlog17(4－x)．(2)loga(2a－1)1(a0且a≠1)．解：(1)由题意可得x0，4－x0，x4－x，解得0x2.(2)loga(2a－1)1即loga(2a－1)logaa，则有a1，2a－1a，或0a1，2a－10，2a－1a，解得a1或12a1.类型3对数函数的综合应用[典例3]已知函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)若f(m－2)f(m)，求m的取值范围．解：(1)要使原式有意义则2＋x0，2－x0，解得－2x2.所以函数f(x)的定义域为{x|－2x2}．(2)由(1)，可知函数f(x)的定义域为{x|－2x2}，关于原点对称，对任意x∈(－2，2)，有－x∈(－2，2)．因为f(－x)＝lg(2－x)＋lg(2＋x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．(3)因为函数f(x)＝lg(2＋x)＋lg(2－x)＝lg(4－x2)，当0≤x2时，函数f(x)为减函数，当－2x0时，函数f(x)为增函数，所以不等式f(m－2)f(m)等价于|m||m－2|，解得m1.又－2m－22，－2m2，解得0m2，所以0m1，综上所述，m的取值范围是{m|0m1}．归纳升华1．判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．2．求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间．3．求最值与解不等式等问题，常用函数的单调性求解．[变式训练]已知f(x)＝lg1－x1＋x的定义域(－1，1)，(1)求f12013＋f－12013.(2)探究函数f(x)的单调性，并证明．解：(1)因为函数的定义域为(－1，1)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝lg1＋x1－x＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f12013＋f－12013＝f12013－f12013＝0.(2)设t(x)＝1－x1＋x＝2－（x＋1）1＋x＝2x＋1－1，易得x∈(－1，1)时t(x)0.任取x1，x2∈(－1，1)，且x1x2，t(x1)－t(x2)＝2x1＋1－1－2x2＋1－1＝2x1＋1－2x2＋1＝2（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1），因为－1x1x21，所以x2－x10，(x1＋1)(x2＋1)0，所以2（x2－x1）（x1＋1）（x2＋1）0，即t(x1)t(x2)0.又因为y＝lgx为增函数，所以lgt(x1)lgt(x2)，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(－1，1)上是减函数．类型4含参数的对数不等式恒成立问题(规范解答)[典例4](本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(x＋3)在区间[－2，－1]上总有|f(x)|2，求实数a的取值范围．审题指导：分a1和0a1，利用f(x)＝logax的单调性得出区间[－2，－1]上函数值的范围，再根据|f(x)|2得到关于a的不等式组．[规范解答]因为x∈[－2，－1]，所以1≤x＋3≤2.(2分)失分警示：求出1≤x＋3≤2是求解本题的基础．当a1时，失分警示：此处的a1和下面的0a1是分类的基本标准，忽视任何一个都会带来错误．loga1≤loga(x＋3)≤loga2，即0≤f(x)≤loga2.(4分)因为|f(x)|2，所以a1，loga22.失分警示：由|f(x)|2得出后面的不等式组，是根据不等式恒成立得出的，若对恒成立理解不透，则易得出错误结果．解得a2.(6分)当0a1时，loga2≤loga(x＋3)≤loga1，即loga2≤f(x)≤0.(8分)因为|f(x)|2，所以0a1，loga2－2.失分警示：由|f(x)|2得出后面的不等式组，是根据不等式恒成立得出的，若对恒成立理解不透，则易得出错误结果．解得0a22.(10分)综合可得，实数a的取值范围是0，22∪(2，＋∞)．(12分)归纳升华解决含参数的不等式恒成立问题，主要是运用等价转化的数学思想，大致方法有：(1)用一元二次方程根的判别式；(2)分离参数，转化为函数最值问题；(3)变更主元，利用函数与方程的思想求解．[变式训练]若0a1，函数f(x)＝loga1a－2x＋1在区间[1，2]上恒为正，求实数a的取值范围．解：当0a1时，设g(x)＝1a－2x＋1，只需0g(x)1.①当a＝12时，g(x)＝1，f(x)＝0，不合题意；②当0a12时，1a－20，g(x)是增函数，只需g(1)0且g(2)1，解得12a1与0a12矛盾．③当12a1时，1a－20，g(x)是减函数，只需g(2)0且g(1)1，解得12a23.所以12a23.综上所述，a∈12，23.1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a1和0a1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时，要树立“定义域优先”的原则，还应注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.