2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.2.2 对数函数及其性质（第1课时）对数函数及其性质课

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数及其性质1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•我们所处的地球正当壮年，地壳运动还非常频繁，每年用地震仪可以测出的地震大约有500万次，平均每隔几秒钟就有一次，其中3级以上的大约只有5万次，仅占1%,7级以上的大震每年平均约有18次，8级以上的地震每年平均仅1次，那么地震的震级是怎么定义的呢？这里面就要用到对数函数．•1．对数函数的定义•一般地，我们把函数y＝____________(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中______是自变量，函数的定义域是_____________.•[知识点拨](1)由于指数函数y＝ax中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝logax中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.•(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.logaxx(0，＋∞)•2．对数函数的图象和性质•一般地，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象定义域：_____________值域：______图象过定点__________，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是__________在(0，＋∞)上是__________性质非奇非偶函数(0，＋∞)R(1,0)增函数减函数•3.反函数•对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__________对称．y＝x•1．下列函数是对数函数的是()•A．y＝2＋log3x•B．y＝loga(2a)(a＞0，且a≠1)•C．y＝logax2(a＞0，且a≠1)•D．y＝lnx•[解析]判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A，B，C全错，D正确．D2．(2019·山东临沂高一期末测试)函数y＝lg(3x－2)的定义域是()A．[1，＋∞)B．(1，＋∞)C．[23，＋∞)D．(23，＋∞)D[解析]要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－20，∴x23，故选D．3．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A．5B．15C．1eD．12A•[解析]∵函数y＝logax的图象一直上升，•∴函数y＝logax为单调增函数，∴a＞1，故选A．•4．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)函数y＝loga(x－1)(a0且a≠1)的图象恒过定点__________.•[解析]令x－1＝1，∴x＝2，则y＝0，故函数y＝loga(x－1)(a0且a≠1)的图象恒过定点(2,0)．(2,0)互动探究学案命题方向1⇨对数函数概念•下列函数表达式中，是对数函数的有()•①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．•A．1个B．2个•C．3个D．4个•[思路分析](1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？B典例1•[解析]根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上，•∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a0且a≠1，•∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，•∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x系数为2，•∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义．•『规律方法』对于对数概念要注意以下两点：•(1)在函数的定义中，a0且a≠1.•(2)在解析式y＝logax中，logax的系数必须为1，真数必须为x，底数a必须是大于0且不等于1的常数．〔跟踪练习1〕指出下列函数中，哪些是对数函数？①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5x；④y＝log32x；⑤y＝log2(x＋1)．[解析]①是指数函数；②中log3x的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为x，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝log(2x－1)(2－x)；(2)f(x)＝2－ln3－x；(3)f(x)＝3log0.5x－1.命题方向2⇨对数函数的定义域•[思路分析]依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域．典例2[解析](1)要使函数有意义，需2x－10，且2x－1≠12－x0，即x12，且x≠1x2.∴12x2，且x≠1，故函数的定义域为{x|12x2，且x≠1}．(2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x)≥0，即3－x≤e23－x0，解得3－e2≤x3，故函数的定义域为{x|3－e2≤x3}．(3)要使函数有意义，需使log0.5(x－1)0，即log12(x－1)0，∴0x－11，即1x2.故函数的定义域为{x|1x2}．•『规律方法』定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性．〔跟踪练习2〕(1)函数f(x)＝1log2x－1的定义域为()A．(0,2)B．(0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)(2)函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，则函数y＝f(lgx)的定义域为____________.C(110，10)[解析](1)使函数有意义应满足log2x－10，即log2x1，∴x2，故选C．(2)由y＝f(x)定义域为(－1,1)知，－1＜lgx＜1，解得110＜x＜10，故y＝f(lgx)定义域为(110，10)．忽略对数函数的定义域致错•已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，求函数y＝f(x)的解析式、定义域及值域．•[错解]因为lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，①•所以lgy＝3x(3－x)，即y＝103x(3－x)．•所以定义域为R，值域为(0，＋∞)．•以上解题过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何改正？如何防范？典例3[错因分析]错解中没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为3x03－x0.[正解]∵lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，∴3x03－x0lgy0，即0x3y1.又lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，∴lgy＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x)．∵0x3，∴3x(3－x)＝－3(x－32)2＋274∈(0，274]，∴y＝103x(3－x)∈(1,10274]，满足y1.∴函数y＝f(x)的解析式为y＝103x(3－x)，定义域为(0,3)，值域为(1,10274]．•观察下列对数函数图象，分析底数a的变化对函数图象的影响，你发现了什么规律？•(1)不管a1还是0a1，底大图低；•(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．•已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是()•A．a4a3a2a1•B．a3a4a1a2•C．a2a1a3a4•D．a3a4a2a1典例4[思路分析]由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa＝1，结合图象判断．B[解析]在图中作一条直线y＝1.由y＝1y＝loga3x，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直线y＝1与曲线C3：y＝loga3x的交点坐标为(a3,1)．同理可得直线y＝1与曲线C4，C1，C2的交点坐标分别为(a4,1)，(a1,1)，(a2,1)．由图象可知a3a4a1a2，故选B．•『规律方法』1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．•2．对数值logax的符号(x0，a0且a≠1)规律：“同正异负”．•(1)当0x1,0a1或x1，a1时，logax0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax0，即对数值为正数，简称为“同正”；•(2)当0x1，a1或x1,0a1时，logax0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．•3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．1．(2019·山东金乡县高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若其图象过点(6,3)，则f(2)的值为()A．－2B．2C．12D．－12B•[解析]由题意得3＝loga8，•∴a3＝8，∴a＝2.•∴f(x)＝log2(x＋2)，•∴f(2)＝log24＝2.2．(2019·河北沧州市高一期中测试)函数y＝13－x＋lg(2x＋1)的定义域()A．(12，3]B．(12，3)C．(－12，3]D．(－12，3)D[解析]由题意得3－x02x＋10，∴－12x3，故选D．•3．y＝2x与y＝log2x的图象关于()•A．x轴对称B．直线y＝x对称•C．原点对称D．y轴对称•[解析]函数y＝2x与函数y＝log2x是互为反函数，故它们的图象关于直线y＝x对称．B4．设f(x)＝lgxx010xx≤0，则f[f(－2)]＝_______.－2•[解析]f(－2)＝10－2，f[f(－2)]＝lg10－2＝－2.•5．已知对数函数f(x)＝(m2－m－1)log(m＋1)x，求f(27)．[解析]∵f(x)是对数函数，∴m2－m－1＝1m＋1＞0m＋1≠1，解得m＝2.∴f(x)＝log3x，∴f(27)＝log327＝3.