2019秋高中数学 第二章 基本初等函数 2.1.2 指数函数及其性质（第2课时）指数函数性质的应用

数学必修①·人教A版第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2指数函数及其性质第二课时指数函数性质的应用1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案•宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14，并能与氧结合形成二氧化碳后进入所有活组织，先被植物吸收，后被动物纳入．只要植物或动物生存着，它们就会持续不断地吸收碳14，在机体内保持一定的水平．而当有机体死亡后，即会停止吸收碳14，其组织内的碳14便开始衰变并逐渐消失．对于任何含碳物质，只要测定剩下的放射性碳14的含量，就可推断其年代．这就是考古学家常用的碳14测年法．你知道生物体内碳14的衰减有着怎样的变化规律吗？•1．比较幂的大小•比较幂的大小的常用方法：•(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；•(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；•(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．•2．有关指数型函数的性质•(1)求复合函数的定义域•形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．•求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．•求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．•(2)判断复合函数的单调性•令u＝f(x)，x∈[m，n]，如果复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．•(3)研究函数的奇偶性•一是定义法，即首先是定义域关于原点对称，然后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．•二是图象法，作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．1．下列判断正确的是()A．2.52.52.53B．0.820.83C．π2π2D．0.90.30.90.5•[解析]∵y＝0.9x是减函数，且0.50.3，∴0.90.30.90.5.D•2．若2x＋1＜1，则x的取值范围是()•A．(－1,1)B．(－1，＋∞)•C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)•[解析]不等式2x＋1＜＝20，因为y＝2x是定义域R上的增函数，所以x＋1＜0，即x＜－1.D3．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是()A．[1，53]B．[－1,1]C．[－53，1]D．[0,1]C[解析]因为f(x)＝3x－2是[－1,1]上的增函数，所以3－1－2≤f(x)≤3－2，即－53≤f(x)≤1.•4．已知指数函数f(x)＝ax，且f(3)f(2)，则a的取值范围是_________.•[解析]∵f(3)＞f(2)，∴f(x)为增函数，∴a＞1.a＞15．已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)f(n)，则m，n的大小关系为__________.mn[解析]∵a＝5－12∈(0,1)，∴f(x)＝ax为减函数，故由aman，解得mn.互动探究学案比较下列各题中两个值的大小．(1)1.82.2,1.83；(2)0.7－0.3,0.7－0.4；(3)1.90.4,0.92.4；(4)(45)12，(910)13.命题方向1⇨幂式大小的比较典例1[思路分析](1)(2)利用指数函数的单调性比较；(3)借助中间量1进行比较；(4)借助中间量(910)12进行比较．•[解析](1)∵1.82.2,1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，•∵1.81，∴y＝1.8x在R上为增函数，•又2.23，•∴1.82.21.83.•(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，•又∵－0.3－0.4，•∴0.7－0.30.7－0.4.•(3)∵1.90.41.90＝1,0.92.40.90＝1，•∴1.90.40.92.4.(4)∵451291012＝(89)12(89)0＝1，∴(45)12(910)12，∵y＝(910)x在R上为减函数，又1213，∴(910)12(910)13，∴(45)12(910)13.•『规律方法』比较指数式的大小应根据所给指数式的形式，当底数相同时，运用单调性法求解；当底数不同时，利用一个中间量做比较进行求解．或借助于同一坐标系中的图象求解．〔跟踪练习1〕比较下列每组中两个数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)(23)－0.5，(34)－0.5；(4)1.70.3,0.93.1.•[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.71，∴指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．•∵2.53，∴1.72.51.73.•(2)考查函数y＝0.8x，由于00.81，•∴指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．•∵－0.1－0.2，∴0.8－0.10.8－0.2.(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝(23)x与y＝(34)x的图象，如图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得(23)－0.5＞(34)－0.5.(4)由指数函数的性质得1．70.31.70＝1,0.93.10.90＝1，∴1.70.30.93.1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2|x|；(2)f(x)＝3x－3－x；(3)f(x)＝2x－12x＋1.命题方向2⇨指数型函数的奇偶性典例2•[思路分析]利用函数奇偶性的定义判断．[解析](1)f(x)定义域为R，关于原点对称f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，∴f(x)＝2|x|是偶函数．(2)f(x)定义域为R，关于原点对称.f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，∴f(x)＝3x－3－x是奇函数．(3)f(x)定义域为R，关于原点对称f(－x)＝2－x－12－x＋1＝12x－112x＋1＝1－2x1＋2x＝－2x－12x＋1＝－f(x)，∴f(x)＝2x－12x＋1是奇函数．•『规律方法』判断指数型函数的奇偶性首先判断其定义域是否关于原点对称；其次，在定义域关于原点对称的基础上，判断f(－x)＝±f(x)之一是否成立；最后，得结论．〔跟踪练习2〕f(x)＝2xa＋a2x是偶函数，则a＝()A．1B．－1C．±1D．2C[解析]依题意，对一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，即1a·2x＋a·2x＝2xa＋a2x.∴(a－1a)(2x－12x)＝0对一切x∈R成立，则a－1a＝0，∴a＝±1.讨论函数f(x)＝(13)x2－2x的单调性，并求其值域．命题方向3⇨指数型函数的单调性典例3•[思路分析]此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可根据复合函数的单调性对其讨论．[解析]解法一：∵函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，设x1、x2∈(－∞，＋∞)且有x1x2，∴f(x2)＝(13)x22－2x2，f(x1)＝(13)x21－2x1.fx2fx1＝13x22－2x213x21－2x1＝(13)x22－x21－2(x2－x1)＝(13)(x2－x1)(x2＋x1－2)．(1)当x1x2≤1，x1＋x22，即有x1＋x2－20.又∵x2－x10，∴(x2－x1)(x2＋x1－2)0，则知(13)(x2－x1)(x2＋x1－2)1.又对于x∈R，f(x)0恒成立．∴f(x2)f(x1)．∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递增．(2)当1≤x1x2时，x1＋x22，即有x1＋x2－20.又∵x2－x10，∴(x2－x1)(x1＋x2－2)0，则知0(13)(x2－x1)(x2＋x1－2)1，∴f(x2)f(x1)．∴函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减．综上，函数f(x)在区间(－∞，1]上是增函数；在区间[1，＋∞)上是减函数．∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1,0131，∴0(13)x2－2x≤(13)－1＝3.∴函数f(x)的值域为(0,3]．解法二：∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x2－2x，则g(u)＝(13)u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1，在(－∞，1)上是减函数，g(u)＝(13)u在其定义域内是减函数，∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数．又g(u)＝(13)u在其定义域内为减函数，而u＝x2－2x＝(x－1)2－1在[1，＋∞)上是增函数．∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．求值域同解法一．•『规律方法』(1)关于指数型函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．•(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f[φ(x)]单调性．•〔跟踪练习3〕•求函数f(x)＝2x2－6x＋17的定义域、值域、单调区间．•[解析]函数f(x)的定义域为R.令t＝x2－6x＋17，则y＝2t.∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在(－∞，3)上是减函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8在[3，＋∞)上为增函数，而y＝2t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x2－6x＋17＝(x－3)2＋8≥8，而y＝2t在其定义域内是增函数，•∴f(x)＝2x2－6x＋17≥28＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．求函数y＝(14)x＋(12)x＋1的值域．换元时忽视中间变量的范围致误•[错因分析]换元时，要利用指数函数的性质确定t的取值范围，错解中忽略了这一点．典例4[错解]令t＝(12)x，则y＝f(t)＝t2＋t＋1，即y＝(t＋12)2＋34，所以ymin＝34.故函数的值域为[34，＋∞)．[正解]令t＝(12)x，则t＞0，y＝f(t)＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34，因为函数f(t)＝(t＋12)2＋34在(0，＋∞)上为增函数，所以y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．•[警示]用换元法解题时，换之后一定要注意考虑“新元”的取值范围，将原变量的取值范围等价转化为“新元”的取值范围．•〔跟踪练习4〕•求函数y＝9x＋2·3x－2的值域．•[解析]设3x＝t，则t0•则y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3.•∵上式中当t＝0时y＝－2，•又∵t＝3x＞0，•∴y＝9x＋2·3x－2的值域为(－2，＋∞)．数形结合思想的应用——图形变换技巧•1．平移变换•当m0时，y＝f(x－m)的图象可以由y＝f(x)的图象向右平移m个单位得到；y＝f(x＋m)的图象可以由y＝f(x)的图象向左平移m个单位得到；y＝f(x)＋m的图象可以由y＝f(x)的图象向上平移m个单位得到；y＝f(x)－m的图象可以由y＝f(x)的图象向下平移m个单位得到．•2．对称(翻折)变换•y＝f(|x|)的图象可以将y＝f(x)的图象位于y轴右侧和y轴上的部分不变，原y轴左侧部分去掉，画出y轴右侧部分关于y轴对称的图形而得到．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象位于y轴上方的部分不变，而将位于y轴下方的部分翻折到y轴上方得到．y＝－f(x)的图象可将y＝f(x)的图象关于x轴对称而得到．y＝f(－x)的图象可由y＝f(x)的图象关于y轴对称得到．•画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．•(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝－2x；(4)y＝2|x|；(5)y＝|2x－1|；(6)y＝－2－x.•[分析]用描点法作出图象，然后根据图象判断．•[解