2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 第1课时 二次函数与

第二十二章二次函数22.3第1课时二次函数与图形面积问题学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．通过图形的面积关系列出函数解析式；2．用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题．课堂导入如图，用12m长的木料，做一个有一条横档的矩形的窗子，为了使透进的光线最多，窗子的长、宽应各是多少？知识管理几何图形的最大面积与二次函数规律：(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函数关系式；(2)由已得到的二次函数关系式求解问题；(3)结合实际问题的自变量取值范围得出实际问题的答案．归类探究类型之一几何图形的面积与二次函数[2018·福建]如图22­3­1，在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100m木栏．图22­3­1(1)若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为450m2，求所用旧墙AD的长；(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．解：(1)设AD＝xm，则AB＝100－x2m.依题意，得100－x2·x＝450.解得x1＝10，x2＝90.∵a＝20且x≤a，∴x2＝90不合题意，应舍去．故所利用旧墙AD的长为10m.(2)设AD＝xm，矩形ABCD的面积为Sm2，则0x≤a，S＝100－x2·x＝－12x2－100x＝－12x－502＋1250.①若50≤a，则当x＝50时，S最大值＝1250；②若0a50，则当0x≤a时，S随x的增大而增大，故当x＝a时，S最大值＝50a－12a2.综上：当a≥50时，矩形菜园ABCD的面积最大为1250m2；当0a50时，矩形菜园ABCD的面积最大为50a－12a2m2.【点悟】用二次函数解决图形面积问题时，关键是利用几何图形面积公式得到二次函数关系式，再由实际情况得到自变量的取值范围，然后利用二次函数的性质得到问题的答案．类型之二几何动点与二次函数如图22­3­2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．图22­3­2(1)设运动开始后第ts时，四边形APQC的面积是Scm2，写出S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．(2)t为何值时，S最小？最小值是多少？解：(1)∵AB＝6，BC＝12，∠B＝90°，∴BP＝6－t，BQ＝2t，∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×6×12－12×(6－t)×2t，即S＝t2－6t＋36(0t6)．(2)∵S＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27，∴当t＝3时，S最小，最小值是27.当堂测评图22­3­31．如图22­3­3，假设篱笆(虚线部分)的长度是16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是()A．60m2B．63m2C．64m2D．66m2C图22­3­42．如图22­3­4，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为s.2分层作业1．[2018·沈阳]如图22­3­5，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝m时，矩形土地ABCD的面积最大．150图22­3­52．[2017·潍坊]工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(如图22­3­6，铁皮厚度不计)(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大．(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？解：(1)如答图，设裁掉的正方形的边长为xcm.由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)．所以裁掉的正方形的边长为2dm时，底面积为12dm2.(2)因为长不大于宽的5倍，所以10－2x≤5(6－2x)，所以0x≤2.5.设总费用为w元，由题意可知：w＝0.5×2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.因为对称轴为x＝6，开口向上，所以当0x≤2.5时，w随x的增大而减小，所以当x＝2.5时，wmin＝25.所以当裁掉的正方形边长为2.5dm时，总费用最低为25元．3．如图22­3­7，一张正方形纸板的边长为10cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x(cm)，阴影部分的面积为y(cm2)．图22­3­7(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大？最大值为多少？(3)当留下的四个直角三角形恰好能拼成一个正方形时(无缝无重叠)，求此时x的值．解：(1)∵AE＝BF＝CG＝DH＝xcm，∴阴影部分的面积为y＝4×12x(10－x)＝－2x2＋20x(0x10)．(2)∵y＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，∴当x＝5时，阴影部分的面积达到最大，最大值为50cm2.(3)当四个直角三角形恰好能拼成正方形时，两直角边的比为1∶2或1∶1或2∶1，故10－x＝2x或x＝2(10－x)或x＝10－x，解得x＝103或x＝203或x＝5.4．有一个例题如下：有一个窗户形状如图22­3­8(1)，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积的最大值约为1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图22­3­8(2)，材料总长仍为6m.利用图22­3­8(3)，解答下列问题：(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积．(2)与上面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．解：(1)由已知可得DF＝12m，AF＝6－1－1－1－322＝34(m)，∴AD＝54m，则窗户透光面积S＝1×54＝54(m2)．(2)设AB＝xm，则AD＝3－74xm.∵x0,3－74x0，∴0x127.设窗户透光面积为Sm2，由已知得S＝AB·AD＝x3－74x＝－74x2＋3x＝－74x－672＋97.∵x＝67在0x127的范围内，∴当x＝67时，S最大值＝971.05，∴与上面的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．