2019年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 第1

第二十二章二次函数22.1.3第1课时二次函数y＝ax2＋k的图象和性质学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南教学目标1．会作二次函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，并能比较它们的异同；2．理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；3．了解二次函数y＝ax2的图象上下平移的规律．课堂导入许多桥梁都采用抛物线形设计，小明将他家乡的彩虹桥按比例缩小后，绘制成如图的示意图，图中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁，x轴表示桥面，y轴经过中间抛物线的最高点，左右两条抛物线关于y轴对称．经过测算，中间抛物线的解析式为y＝－140x2＋10.你能计算出中间抛物线的最高点离桥面的高度吗？知识管理1．画y＝2x2＋1与y＝2x2－1的图象描点法：(1)列表时，自变量x的值以0为中心对称地选取绝对值相等而符号相反的数值．这样描点方便，所画的图象具有对称性．(2)连线必须用平滑的曲线顺次连接各点．平移法：把抛物线y＝2x2向上平移个单位长度，得到抛物线y＝2x2＋1；把抛物线y＝2x2向平移1个单位长度，得到抛物线y＝2x2－1.1下2．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质形状：抛物线．对称轴：y轴．顶点坐标：(0，k)．开口方向：a0，开口向上；a0，开口向下．最值：a0，当x＝时，y最小值＝k；a0，当x＝时，y最大值＝k.003．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系相同点：形状、大小，开口方向相同．不同点：顶点及位置不同．平移规律：y＝ax2―――――――→向上平移kk0个单位长度y＝ax2＋k；y＝ax2――――――――→向下平移kk0个单位长度y＝ax2－k.归类探究类型之一画二次函数y＝ax2＋k的图象在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝12x2＋1与y＝12x2－1的图象．解：列表：x…－2－1012…y＝12x2＋1…3321323…y＝12x2－1…1－12－1－121…描点：将表格中相对应的数据作为点的坐标在平面直角坐标系中描出．连线：用平滑的曲线顺次连接．图象如答图．例1答图类型之二二次函数y＝ax2＋k的图象和性质的运用抛物线y＝ax2＋k与y＝－8x2的形状、大小、开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，－6)，则其表达式为，它是由抛物线y＝－8x2向平移个单位长度得到的．y＝－8x2－6下6【点悟】解这类题，必须根据二次函数y＝ax2＋k的图象和性质来解．a的值决定抛物线的形状、大小及开口方向，k的值决定抛物线的顶点的位置．已知函数y＝ax2＋c的图象过点(－2，－7)和点(1,2)．(1)求这个函数的解析式；(2)画出这个函数的图象；(3)求这个函数的图象与x轴交点的坐标．解：(1)∵函数y＝ax2＋c的图象过(－2，－7)，(1,2)两点，∴4a＋c＝－7，a＋c＝2，∴a＝－3，c＝5，∴y＝－3x2＋5.(2)列表：x…－1－120121…y＝－3x2＋5…217451742…描点，连线，图略．(3)当y＝0时，－3x2＋5＝0，解得x1＝153，x2＝－153，故函数图象与x轴的交点坐标为153，0和－153，0.当堂测评1．下列函数，图象形状、大小、开口方向都相同的是()①y＝－x2；②y＝－2x2；③y＝12x2－1；④y＝x2＋2；⑤y＝－2x2＋3.A．①④B．②⑤C．②③⑤D．①②⑤B2．函数y＝－x2＋1的图象大致为()3．抛物线y＝－2x2－5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，最大值为.B下y轴(0，－5)－5分层作业1．[2017·宜兴市一模]关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是()A．它的开口方向是向下B．当x－1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是(2,3)D．当x＝0时，y有最大值是3B2．将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为.3．(1)填表：y＝2x2＋1…－9－3－1－3－9…y＝－2x2－1…－7－11－1－7…y＝－2x2＋1…－8－20－2－8…y＝－2x2…210－1－2…x(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象．(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？(4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1?解：(1)见上表．(2)略．(3)它们三者图象的形状相同，但位置不同，开口均向下，对称轴均为y轴，顶点不同，分别为(0,0)，(0,1)，(0，－1)．(4)抛物线y＝－2x2＋1可由抛物线y＝－2x2向上平移1个单位长度得到；抛物线y＝－2x2－1可由抛物线y＝－2x2向下平移1个单位长度得到．4．如图22­1­8，两条抛物线y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，－1)，(2，－3)，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()图22­1­8AA．8B．6C．10D．45．[2018·玉环市一模]小迪同学以二次函数y＝2x2＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图22­1­9为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为.图22­1­9116．某水渠的横截面的形状呈抛物线，水面的宽度为AB，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22­1­10的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8m，设抛物线的解析式为y＝ax2－4.图22­1­10(1)求a的值；(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．解：(1)∵AB＝8m，由抛物线的性质可知OB＝4m.∴点B的坐标为(4,0)．把点B的坐标代入解析式，得16a－4＝0，解得a＝14.第6题答图(2)过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如答图．由(1)知a＝14，∴y＝14x2－4.令x＝－1，∴m＝14×(－1)2－4＝－154，∴点C的坐标为－1，－154.∵点C关于原点的对称点为点D，∴点D的坐标为1，154，∴CE＝DF＝154，∴S△BCD＝S△BOD＋S△BOC＝12OB·DF＋12OB·CE＝12×4×154＋12×4×154＝15(m2)，∴△BCD的面积为15m2.