2019年秋九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.2 第2课时 与相似三角形的周长

第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3.4.2相似三角形的性质第2课时与相似三角形的周长、面积有关的性质学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★与相似三角形的周长、面积有关的性质此内容为本节的重点．本节【归类探究】中的所有例题，【当堂测评】与【分层作业】中的所有练习都是为此设计的．★课堂导入★某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100m2、周长为80m的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的20m缩短成12m．现在的问题是：被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？知识管理1．相似三角形的面积比性质：相似三角形的面积比等于相似比的．2．相似三角形的周长比性质：相似三角形的周长比等于．平方相似比归类探究类型之一相似三角形的面积比与周长比如图3­4­61，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图3­4­61解：在△DEF和△ABC中，由AB＝2DE，AC＝2DF，易得DEAB＝DFAC＝12.又∵∠A＝∠D，∴△DEF∽△ABC，并且相似比为12.∴△DEF的周长＝12×24＝12，△DEF的面积＝122×48＝12.【点悟】相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比．类型之二“相似三角形的面积比等于相似比的平方”在生活中的应用某社区拟筹集资金2000元，计划在一块如图3­4­62所示的四边形空地上种植花草，已知AD∥BC，且AD＝10m，BC＝20m．他们想在△AMD和△BMC上种植单价为10元/m2的太阳花．当△AMD种满花后，花了500元钱．请预算一下．若继续在△BMC上种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．图3­4­62解：资金不够用．理由如下：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMDS△CMB＝ADCB2＝10202＝14.△AMD种满花用了500元，剩余资金为1500元，花的单价不变，则△BMC种满花需要2000元，故资金不够用．【点悟】运用相似三角形的性质处理问题，首先必须判断两个三角形是否是相似三角形，只有在满足三角形相似的前提下，才能应用相似三角形的性质．当堂测评1．[2018·铜仁]已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为()A．32B．8C.4D．16C2．[2018·毕节]如图3­4­63，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE∶EC＝3∶2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为()图3­4­63A．2∶5B．3∶5C．9∶25D．4∶25C3．[2018秋·浦东新区月考]如果两个相似三角形的周长比为3∶4，那么它们的面积比是.4．[2018·连云港]如图3­4­64，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE与△ABC的面积的比为.图3­4­649∶161∶9分层作业1．[2018·内江]已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A．1∶1B．1∶3C.1∶6D．1∶9D2．[2018·绥化]两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，他们的周长之差为12cm，那么大三角形的周长为()A．14cmB．16cmC.18cmD．30cmD3．[2018·贵港]如图3­4­65，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE.若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝()图3­4­65A．16B．18C.20D．24B4．已知△ABC∽△A′B′C′，ABA′B′＝23，△ABC的周长是20cm，面积是40cm2.求△A′B′C′的周长和面积．解：由题意知，△A′B′C′与△ABC的相似比为32，∴△A′B′C′的周长为32×20＝30(cm)，△A′B′C′的面积为322×40＝90(cm2)．5．如图3­4­66，已知四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△COB的面积之比为1∶9.若AD＝1，求CB的长．图3­4­66解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB.又∵△AOD与△COB的面积之比为1∶9，∴AD∶CB＝1∶3.∵AD＝1，∴CB＝3.6．[2017·三亚模拟]如图3­4­67，▱ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于点F.(1)求证：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF与△CDF的周长之比；(3)如果△CDF的面积为20cm2，求△AEF的面积．图3­4­67(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴△AEF∽△CDF.(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB.而AE∶EB＝2∶3，∴AE∶AB＝2∶5，∴AE∶CD＝2∶5.∴△AEF与△CDF的周长之比为2∶5.(3)解：△AEF的面积为252×20＝165(cm2)．7．如图3­4­68，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，ts后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.当t＝3时，求S的值．图3­4­68解：如答图，作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ＝PR，∴QE＝RE＝12QR＝4cm.∴PE＝52－42＝3(cm)．当t＝3时，QC＝3cm.设PQ与DC交于点G.第7题答图∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP.∴S△QCGS△QEP＝342，∵S△QEP＝12×4×3＝6(cm2)，∴S＝342×6＝278(cm2)．