2019年秋九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质 3.4.1 第2课时 相似三角形的判定定

第3章图形的相似3.4相似三角形的判定与性质3．4.1相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1学习指南知识管理归类探究分层作业当堂测评学习指南★本节学习主要解决下列问题★两角分别相等的两个三角形相似此内容为本节的重点．本节【归类探究】中所有例题，【当堂测评】与【分层作业】中所有练习都是为此设计的．★课堂导入★观察下列几组图形．试着判断这几组图形是否相似，并探究其中的规律．知识管理1．相似三角形的判定定理1定理：分别相等的两个三角形相似．几何描述：如图3­4­15所示，△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，那么△ABC∽△A′B′C′.图3­4­15两角2．两角判定三角形相似的几种基本图形图3­4­16归类探究类型相似三角形的判定定理1如图3­4­17，∠1＝∠2，请补充一个条件：，使得△ABC∽△ADE.图3­4­17∠C＝∠E或∠B＝∠ADE【点悟】对于这类问题，要注意公共角、对顶角是对应角的隐含条件．同时，要会灵活地将已知角向目标角转化，转化的途径通常有“等角加等角其和相等，等角减等角其差相等”“同角或等角的余角(补角)相等”等．如图3­4­18，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于点F.图3­4­18(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)求EF的长．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF.(2)解：∵△ABE∽△DEF，∴BEEF＝ABDE.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∠A＝90°，∴BE＝AB2＋AE2＝10，DE＝AD－AE＝4，∴10EF＝64，解得EF＝203.【点悟】本题属于“一线三等角模型”(也称为“K型”)中的“三垂直模型”，这个模型在解题中应用广泛．如图3­4­19，已知△ABC和△CDE中，B，C，D三点共线，角的数量关系如图所示，则有△ABC∽△CDE.当堂测评1．如图3­4­20，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则DC的长为()A.34B．43C.2D．3B图3­4­202．如图3­4­21，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长为()A.154B．125C.203D．174图3­4­21A分层作业1．如图3­4­22，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝6，AB＝9，则AD的长是()A．6B．5C.4D．3C图3­4­222．[2018·永州]如图3­4­23，在△ABC中，点D是AB边上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则AC的长为()图3­4­23A．2B．4C.6D．8B3．如图3­4­24，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是：(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)．图3­4­24∠B＝∠DEF(答案不唯一)4．如图3­4­25所示，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝103.图3­4­255．[2018·杭州]如图3­4­26，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.图3­4­26(1)求证：△BDE∽△CAD.(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)解：在Rt△ADB中，AD＝AB2－BD2＝132－1022＝12.∵△BDE∽△CAD，∴BDDE＝CAAD，即5DE＝1312，解得DE＝6013.6．[2018·江西]如图3­4­27，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E.求AE的长．图3­4­27解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBC.∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠DBC＝∠D.∴CD＝BC＝4.又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴ABCD＝AECE，即84＝AE6－AE，解得AE＝4.7．[2018·株洲]如图3­4­28所示，Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形ABCD的边AB和AD，其中AM＝AN.图3­4­28(1)求证：Rt△ABM≌Rt△ADN.(2)线段MN与线段AD相交于点T.若AT＝14AD，求tan∠ABM的值．(1)证明：∵AM＝AN，AB＝AD，∴Rt△ABM≌Rt△ADN(HL)．(2)解：由(1)知∠DAN＝∠BAM，∴∠DAN＋∠DAM＝∠BAM＋∠DAM＝90°.又∵∠DAN＋∠NDA＝90°，∴∠DAM＝∠NDA.又∵∠ATM＝∠DTN，∴△AMT∽△DNT.∴ATDT＝AMDN.∵AT＝14AD，∴ATDT＝AMDN＝13.∵AM＝AN，∴ANDN＝13.∴tan∠ABM＝tan∠ADN＝ANDN＝13.8．如图3­4­29所示，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB边的中点．图3­4­29(1)求证：AC2＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD;(3)若AD＝4，AB＝6，求ACAF的值．(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC＝ACAB，∴AC2＝AB·AD.(2)证明：∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.∵∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD.(3)解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴ADCE＝AFCF.∵CE＝12AB，∴CE＝12×6＝3.又∵AD＝4，由ADCE＝AFCF得43＝AFCF，∴AFAC＝AFAF＋CF＝47，∴ACAF＝74.