2019年高中数学 第一章 三角函数 1.5 函数y=Asin（ωx+φ）的图象课件 新人教A版必修

1.5函数y=Asin(ωx+)的图象课标要求:1.了解y=Asin(ωx+)的实际意义.2.借助图象,了解参数A,ω,对函数图象变化的影响.3.掌握y=Asin(ωx+)图象的常用变换.4.了解y=Asin(ωx+)中,A,ω,的物理意义.5.理解y=Asin(ωx+)的图象特征及性质.自主学习知识探究1.参数A,ω,对函数y=Asin(ωx+)图象的影响(1)对函数y=sin(x+)图象的影响左右(2)ω对函数y=sin(ωx+)图象的影响缩短伸长(3)A对函数y=Asin(ωx+)图象的影响伸长缩短探究1:如何从整体上研究参数,ω,A对y=Asin(ωx+)图象整体变化的影响?提示:一种做法是作出y=Asin(ωx+)的图象,改变,ω,A的值,观察图形的变化.另一种做法是取,ω,A的多组值,分别作出y=Asin(ωx+)的图象,然后对比各个图象的异同.y=sinx的图象y=sin(x+)的图象的图象y=Asin(ωx+)的图象.2.由函数y=sinx的图象得到函数y=Asin(ωx+)的图象的途径由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+)的图象有两种主要途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.(1)先平移后伸缩sin()yx(2)先伸缩后平移y=sinx的图象的图象y=sin(ωx+)的图象y=Asin(ωx+)的图象.y=sinωx探究2:函数y=2sin(2x+π3)图象经过怎样的变换得到函数y=sinx的图象?提示:y=2sin(2x+)y=sin(2x+)y=sin(x+)y=sinx.π3π3π33.函数y=Asin(ωx+)(A0,ω0)中,A,ω,的物理意义(1)简谐运动的就是A;振幅(2)简谐运动的周期T=;(3)简谐运动的频率f==;2π1T2π(4)称为相位;x(5)x=0时的相位称为初相.探究3:物理中,简谐运动的图象就是函数y=Asin(ωx+),x∈[0,+∞)的图象,其中A0,ω0.描述简谐运动的物理量有振幅、周期、频率、相位和初相等,你知道这些物理量分别是指哪些数据以及各自的含义吗?提示:A是振幅,它是指物体离开平衡位置的最大距离;T=2π是周期,它是指物体往复运动一次所需要的时间;f=1T=2π是频率,它是指物体在单位时间内往复运动的次数;ωx+称为相位;称为初相,即x=0时的相位.1.函数y=3sin(2x-π8)的振幅、周期、初相分别为()(A)-3,4π,π8(B)3,4π,-π8(C)3,π,-π8(D)-3,π,π82.函数y=sin(x+π6)的图象的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的函数的解析式为()(A)y=sin(2x+π3)(B)y=sin(12x+π3)(C)y=sin(2x+π6)(D)y=sin(12x+π6)自我检测BD3.要得到y=3cos（2x+π4）的图象,只需将y=3cos2x的图象()(A)向左平移π4个单位长度(B)向右平移π4个单位长度(C)向左平移π8个单位长度(D)向右平移π8个单位长度C答案:2sin(2x-π6)4.函数y=Asin(ωx+)的部分图象如图所示,则函数解析式y=.解析:根据题意设g(x)=f(x-)=sin[2(x-)+π4],则g(x)的图象关于y轴对称,所以g(0)=±1,即sin(-2+π4)=±1,所以-2+π4=kπ+π2(k∈Z),所以=-π2k-π8(k∈Z).所以当k=-1时,的最小正值为3π8.5.若将函数f(x)=sin(2x+π4)的图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是.答案:3π8题型一“五点法”作函数y=Asin(ωx+)的图象课堂探究【例1】用“五点法”画函数y=2sin(3x+π6)的简图.解:先画函数在一个周期内的图象.令X=3x+π6,则x=13(X-π6),列表:X0π2π32π2πx-π18π9518π49π1118πy020-20描点作图,再将图象左右延伸即可.题后反思五点法作函数y=Asin(ωx+)(x∈R)图象的步骤(1)列表,令ωx+=0,π2,π,3π2,2π,依次得出相应的(x,y)值;(2)描点;(3)连线得函数在一个周期内的图象;(4)左右平移得到y=Asin(ωx+),x∈R的图象.即时训练1-1:已知f(x)=2sin(2x+π3).解:(1)列表:2x+π30π2π3π22πx-2π3π34π37π310π3f(x)020-20作图如图.(1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;解:(2)由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2,得4kπ-5π3≤x≤4kπ+π3,k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[4kπ-5π3,4kπ+π3],k∈Z.(2)写出f(x)的单调递增区间;解:(3)当2x+π3=π2+2kπ,即x=π3+4kπ(k∈Z)时,f(x)max=2.(3)求f(x)的最大值和此时相应的x的值.题型二三角函数的图象变换【例2】说明y=2sin(2x+π3)的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解:法一把y=sinx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y=sin(x+π3)的图象;再把y=sin(x+π3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x+π3)的图象;最后把y=sin（2x+π3）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin(2x+π3)的图象.法二将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到y=sin2x的图象;再将y=sin2x的图象向左平移π6个单位长度,得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象;再将y=sin(2x+π3)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即得到y=2sin(2x+π3)的图象.方法总结三角函数图象变换的两种方法的注意点三角函数图象变换的方法一先平移后伸缩和方法二先伸缩后平移需要注意以下两点:(1)两种变换中平移的单位长度不同,分别是||和||,但平移方向是一致的.(2)虽然两种平移单位长度不同,但平移时平移的对象已有变化,所以得到的结果是一致的.即时训练2-1:(1)(2018·天津卷)将函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数()(A)在区间[3π4,5π4]上单调递增(B)在区间[3π4,π]上单调递减(C)在区间[5π4,3π2]上单调递增(D)在区间[3π2,2π]上单调递减解析:(1)函数y=sin(2x+π5)的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y=sin[2(x-π10)+π5]=sin2x,则函数y=sin2x的一个单调增区间为[3π4,5π4],一个单调减区间为[5π4,7π4].由此可判断选项A正确.故选A.(2)为了得到y=3sin(2x+π5)(x∈R)的图象,只需把函数y=3sin(x+π5)(x∈R)的图象上所有的点的()(A)横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变(B)横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变(D)纵坐标缩短到原来的12倍,横坐标不变解析:(2)y=3sin(x+π5),x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变得到y=3sin(2x+π5),故选B.题型三由图象确定函数的解析式【例3】如图是函数y=Asin(ωx+){A0,ω0,||π2}的部分图象,求这个函数的解析式.解:法一(“五点作图法”)由图象知ymax=3,ymin=-3,所以A=3.因为2T=712π-π12=π2,所以T=π,所以ω=2πT=2.又(-π6,0)是五点中的第一个点,所以把x=-π6代入ωx+=0得2×(-π6)+=0,所以=π3.故所求的函数解析式为y=3sin(2x+π3).法二(待定系数法)由图象知A=3.又图象过点(π3,0)和(5π6,0),根据五点作图法(以上两点可看作是“五点法”中的第三个点和第五个点),有ππ,35π2π,6解得2,π.3所以y=3sin(2x+π3).法三(图象变换法)因为A=3,T=π,且函数图象经过点(-π6,0),可知图象由y=3sin2x的图象向左平移π6个单位长度而得,所以y=3sin2(x+π6),即y=3sin(2x+π3).方法技巧如果从图象可确定振幅和周期,那么可直接确定函数y=Asin(ωx+)中的参数A和ω,再选取“第一零点”的数据代入“ωx+=0”求得.也可以用“第二点”(即曲线的“峰点”)代入ωx+=π2,“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)代入ωx+=π,“第四点”(即曲线的“谷点”)代入ωx+=3π2,“第五点”代入ωx+=2π中求得.解析:由题意A+B=3,-A+B=-5,解得A=4,B=-1.又因为2T=7π12-π12=6π12,所以T=π,ω=2,所以y=4sin(2x+)-1.所以sin(π6+)=1,又||π2,所以=π3,所以y=4sin(2x+π3)-1.即时训练3-1:若函数y=Asin(ωx+)+B{A0,ω0,||π2}在一个周期内的图象上有一个最高点(π12,3)和一个最低点(7π12,-5),则这个函数的解析式为.答案:y=4sin(2x+π3)-1题型四函数y=Asin(ωx+)性质的应用【例4】已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω0,0≤≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M(3π4,0)对称,且在区间[0,π2]上是单调函数,求和ω的值.解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称.所以f(x)在x=0时取得最值.即sin=1或sin=-1.依题设0≤≤π,解得=π2.由f(x)的图象关于点M对称,可知sin(3π4ω+π2)=0,所以3π4ω+π2=kπ(k∈Z),因为ω0,所以k≥1,又f(x)在[0,π2]上是单调函数,所以T≥π,即2π≥π,又ω0,所以0ω≤2.所以当k=1时,ω=23;当k=2时,ω=2.所以=π2,ω=2或23.方法技巧若函数y=Asin(ωx+)是偶函数,则有=kπ+π2(k∈Z),若函数y=Asin(ωx+)是奇函数,则有=kπ(k∈Z);若函数y=Asin(ωx+)关于点(x0,0)对称,则有ωx0+=kπ(k∈Z);若函数y=Asin(ωx+)关于直线x=x0对称,则有ωx0+=kπ+π2(k∈Z);若函数y=Asin(ωx+)在区间[a,b]上是单调函数,则一定有b-a≤2T(T为函数y=Asin(ωx+)的最小正周期).即时训练4-1:函数f(x)=3sin(2x-π3)的图象为C,则以下结论中正确的是.(写出所有正确结论的编号).①图象C关于直线x=π12对称;②图象C关于点(2π3,0)对称;③函数f(x)在区间(-π12,5π12)内是增函数;④由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.解析:f(π12)=3sin(2×π12-π3)=3sin(-π6)=-32,f(23π)=3sin(43π-π3)=0,故①错误,②正确.令-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π12+kπ≤x≤512π+kπ,k∈Z,故③正确.函数y=3sin2x的图象向右平移π3个单位得到函数y=3sin2(x-π3)=3sin(2x-23π)的图象,故④错误.答案:②③