2019年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 第一课时 空间向量与平

第一课时空间向量与平行、垂直关系课标要求:1.理解直线的方向向量与平面的法向量,并能运用它们证明平行问题和垂直问题.2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系和垂直关系.自主学习知识探究1.点的位置向量如图(1)所示,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP来表示,我们把向量OP称为点P的位置向量.2.直线的方向向量空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定.如图(2)所示,点A是直线l上一点,向量a表示直线l的方向(方向向量).在直线l上取AB=a,那么对于直线l上任意一点P,一定存在实数t,使得AP=tAB.这样,点A和向量a不仅可以确定直线l的位置,还可以具体表示出l上的任意一点.空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.如图所示,设这两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面α上任意一点,由平面向量基本定理可知,存在有序实数对(x,y),使得OP=xa+yb.这样,点O与向量a,b不仅可以确定平面α的位置,还可以具体表示出α内的任意一点.3.空间平面的向量表示4.平面法向量的定义如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面α的法向量.给定一点A和一个向量a,那么,过点A,以向量a为法向量的平面是完全确定的.5.平面法向量的性质(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.(2)一个平面的法向量有无限多个,它们互相平行.6.平面的法向量的求法已知平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.确定平面的法向量通常有两种方法:方法一:在几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直.方法二:在几何体中没有现成的有向线段,这时一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求平面的法向量.一般步骤如下:(1)设平面的一个法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标:a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组:0,0.nanb(4)解方程组,取其中的一组解,即得该平面的一个法向量.由于平面的法向量有无数个,故可在方程组的解中取一个较简单的作为平面的法向量.7.利用空间向量表示立体几何中的平行与垂直关系因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线与平面的位置关系,所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量来研究空间直线、平面的平行(或垂直)问题.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则①线线平行:l∥m⇔a∥b⇔a=kb,k∈R;线面平行:l∥α⇔a⊥u且l⊄α⇔a·u=0且l⊄α;面面平行:α∥β⇔u∥v⇔u=kv,k∈R.②线线垂直:l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=0;线面垂直:l⊥α⇔a∥u⇔a=ku,k∈R;面面垂直:α⊥β⇔u⊥v⇔u·v=0.8.用向量法证明空间中的平行关系空间中的平行关系有:直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行.(1)线线平行设直线l1,l2的方向向量分别为v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2),则l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1=λv2(λ∈R)⇔a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2.(2)线面平行证法一:设直线l的方向向量是a=(x1,y1,z1),平面α的法向量是u=(x2,y2,z2),则l∥α⇔a⊥u,且l⊄α⇔a·u=0且l⊄α⇔x1x2+y1y2+z1z2=0且l⊄α.证法二:根据线面平行的判定定理“如果直线(平面外)与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.证法三:根据共面向量定理可知,如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可.(3)面面平行证法一:由面面平行的判定定理知,要证明面面平行,只要转化为证明相应的线面平行、线线平行即可.证法二:若能求出平面α,β的法向量u,v,要证明α∥β,只要证明u∥v即可.9.用向量法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系有:线线垂直、线面垂直、面面垂直.(1)线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为a1,a2,要证明l1⊥l2,只要证明a1·a2=0即可.(2)线面垂直证法一:设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为u,要证l⊥α,只要证a∥u即可.证法二:根据线面垂直的判定定理,转化为证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量垂直.(3)面面垂直设平面α,β的法向量分别为u1,u2,则只需证明u1⊥u2,即只需证明u1·u2=0即可.自我检测1.已知A(1,2,3),B(2,1,4)是直线AB上两点,单位向量e是直线AB的方向向量,则e等于()C(A)(1,-1,1)(B)(1,-1,1)或(-1,1,-1)(C)(33,-33,33)或(-33,33,-33)(D)(33,-33,33)解析:因为AB=(1,-1,1),所以e=±1ABAB=±33(1,-1,1),即e=(33,-33,33)或(-33,33,-33).解析:问题即求与n共线的一个向量.即n=(2,-3,1)=-(-2,3,-1).2.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是()(A)(0,-3,1)(B)(2,0,1)(C)(-2,-3,1)(D)(-2,3,-1)D3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于()(A)3(B)6(C)-9(D)9C解析:因为l⊥α,v与平面α平行,所以u⊥v,即u·v=0,所以1×3+3×2+z×1=0,所以z=-9.答案:-84.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,,2),且l∥α,则m=.12答案:-105.若平面α,β的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为.题型一求平面的法向量课堂探究【例1】如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面SBA的一个法向量.12解:如图,以A为原点,以AD,AB,AS分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(12,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),则DC=(12,1,0),DS=(-12,0,1).易知向量AD=(12,0,0)是平面SBA的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面SCD的法向量,则10,210,2nDCxynDSxz即1,21.2yxzx取x=2,则y=-1,z=1,所以平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).(1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两不共线向量,如AC,AB;方法技巧求平面法向量的方法与步骤(2)设平面的法向量为n=(x,y,z);(3)联立方程组0,0,nACnAB并求解;(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.即时训练1-1:已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一个法向量.解:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由题意知AB=(-1,1,0),BC=(1,0,-1).因为n⊥AB,n⊥BC,所以0,0,nABxynBCxz解得,.xyxz令x=1,则y=z=1.所以平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1).题型二利用空间向量证明平行问题证明:如图所示建立空间直角坐标系Dxyz.则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以1FC=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量.【例2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:FC1∥平面ADE.则n1⊥DA,n1⊥AE,即1111120,20,nDAxnAEyz得1110,2xzy令z1=2,则y1=-1,所以n1=(0,-1,2).因为1FC·n1=-2+2=0,所以1FC⊥n1.又因为1FC⊄平面ADE,所以FC1∥平面ADE.证明:由本例证明知11CB=(2,0,0),设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥1FC,n2⊥11CB,得2122211220,20,nFCyznCBx得2220,2.xzy令z2=2得y2=-1,所以n2=(0,-1,2),因为n1=n2,所以平面ADE∥平面B1C1F.变式探究:在本例条件下,求证:平面ADE∥平面B1C1F.方法技巧利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现,一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化,得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.即时训练2-1:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.证明:法一如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,12),N(12,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),于是MN=(12,0,12),1DA=(1,0,1),DB=(1,1,0),设平面A1BD的法向量是n=(x,y,z),则n·1DA=0,且n·DB=0,得0,0.xzxy取x=1,得y=-1,z=-1,所以n=(1,-1,-1).又MN·n=(12,0,12)·(1,-1,-1)=0,所以MN⊥n.又MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.法二因为MN=1CN-1CM=1112CB-112CC=12(11DA-1DD)=12DA,所以MN∥1DA,而MN⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.法三因为MN=1CN-1CM=1112DA-112DD=12(DB+BA)-12(11DA+1AD)=12DB+12BA-1112DA-112AD=12DB+112DA+12(BA-DA)=12DB+112DA+12DB=112DA+0·DB,所以MN可用1DA与DB线性表示,故MN与1DA和DB是共面向量.因为MN⊄平面A1BD,所以MN∥平面A1BD.题型三利用空间向量证明线线垂直【例3】已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=14CC1.求证:AB1⊥MN.证明:法一设AB=a,AC=b,1AA=c,则由已知条件和正三棱柱的性质,得|a|=|b|=|c|=1,a·c=b·c=0,1AB=a+c,AM=12(a+b),AN=b+14c,MN=AN-AM=-12a+12b+14c,所以1AB·MN=(a+c)·(-12a+12b+14c)=-12+12cos60°+0-0+0+14=0.所以1AB⊥MN,所以AB1⊥MN.法二设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得A(-12,0,0),B(12,0,0),C(0,32,0),N(0,32,14),B1(12,0,1),因为M为BC中点,所以M(14,34,0).所以MN=(-14,34,14),1AB=(1,0,1),所以MN·1AB=-14+0+14=0.