2019年高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性规划问题课件

3.3.2简单的线性规划问题第一课时简单的线性规划问题课标要求:1.了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,了解线性规划的意义.2.能够利用图解法求解基本的线性规划问题.3.能够利用线性规划知识解决实际优化问题.自主学习知识探究简单的线性规划(1)相关概念①约束条件:由变量x,y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x,y的约束条件.关于变量x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x,y的约束条件.②目标函数:我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数.目标函数是关于变量x,y的一次解析式的称为线性目标函数.线性③线性规划问题:一般的,在线性约束条件下求线性目标函数的.问题,统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解.由所有可行解组成的集合叫做,其中,使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的.最大值或最小值可行域最优解【知识拓展】(1)约束条件可以是方程,线性约束条件可以是二元一次不等式与二元一次方程的组合,而一般意义上的约束条件可以是多样化的不等式或者方程形式的组合.(2)目标函数本质是函数的解析式z=f(x,y),线性目标函数即关于x,y的线性组合.线性规划的最优解一般在可行域的顶点处取得,如果目标函数存在多个最优解,则最优解一般在可行域的边界处取得.(2)简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”,即:①画:在平面直角坐标系中,画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值;④答:给出正确答案.【知识拓展】b的符号对目标函数z=ax+by(b≠0)的函数值的变化趋势有何影响?在线性约束条件下,将函数z=ax+by(b≠0)变形为y=-abx+zb,它表示斜率为-ab,在y轴上的截距为zb,并随z变化的一组平行直线.把直线l0:ax+by=0向上平移时,在y轴上的截距zb随之增大,当b0时,z的值随之减小;当b0时,z的值随之增大.把直线l0:ax+by=0向下平移时,在y轴上的截距zb随之减小,当b0时,z的值随之增大;当b0时,z的值随之减小.自我检测1.目标函数z=3x-y,将其看成直线方程时,z的意义是()(A)该直线的截距(B)该直线纵截距(C)该直线的纵截距的相反数(D)该直线横截距C解析:由z=3x-y得y=3x-z,在该方程中-z表示直线的纵截距,因此z表示该直线的纵截距的相反数.故选C.2.若则z=x-y的最大值为()(A)-1(B)1(C)2(D)-2解析:可行域如图阴影部分所示,由1,0xyy得M(1,0).故z=x-y的最大值为1.0,0,1,xyxyC3.在如图所示的可行域内(阴影部分),使目标函数z=x-y取得最小值的点的坐标为()(A)(1,1)(B)(3,2)(C)(5,2)(D)(4,1)A解析:由目标函数z=x-y得到y=x-z,作出直线y=x,在平面直角坐标系中进行平移,显然当直线过点A(1,1)时,y=x-z中的z最小.故选A.4.给定下列命题:在线性规划中,①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.其中正确命题的序号是.解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确.故填④.答案:④5.已知点P(x,y)的坐标满足条件4,,1,xyyxx点O为坐标原点,那么|PO|的最小值等于,最大值等于.解析:如图所示,线性区域为图中阴影部分,|PO|指线性区域内的点到原点的距离,所以最短为2211=2,最长为2213=10.答案:210题型一求线性目标函数的最值问题课堂探究【例1】已知关于x,y的二元一次不等式组(1)求函数u=3x-y的最大值和最小值;24,1,20.xyxyx解:(1)作出二元一次方程组24,1,20xyxyx表示的平面区域如图阴影部分所示.由u=3x-y,得y=3x-u,得到斜率是3,在y轴上的截距为-u且随u变化的一簇平行直线.由图可知,当直线u=3x-y经过可行域上的点C时,截距-u最大,即u最小,解方程组24,20,xyx得2,3,xy即C(-2,3).所以umin=3×(-2)-3=-9.当直线u=3x-y经过可行域上的点B时,截距-u最小,即u最大,解方程组24,1,xyxy得2,1,xy即B(2,1).所以umax=3×2-1=5.所以u=3x-y的最大值是5,最小值是-9.(2)求函数z=x+2y+2的最大值和最小值.解:(2)作出二元一次方程组24,1,20xyxyx表示的平面区域,如图中阴影部分所示.由z=x+2y+2,得y=-12x+12z-1,得到斜率为-12,在y轴上的截距为12z-1且随z变化的一簇平行直线.由图可知,当直线y=-12x+12z-1经过可行域上的A点时,截距12z-1最小,即z最小,解方程组1,20,xyx得2,3,xy即A(-2,-3),所以zmin=-2+2×(-3)+2=-6.当直线y=-12x+12z-1与直线x+2y=4重合时,截距12z-1最大,即z最大.所以zmax=x+2y+2=4+2=6.所以z=x+2y+2的最大值是6,最小值是-6.方法技巧(1)一般地,对目标函数z=ax+by,若b0,则纵截距与z同号,因此,纵截距最大时,z也最大;若b0,则纵截距与z异号,因此,纵截距最大时,z反而最小.(2)解二元线性规划问题的一般步骤是:①画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数为z=ax+by);②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点;③求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值和最小值;④答:给出正确答案.即时训练1-1:(1)已知目标函数z=2x+y,且变量x,y满足约束条件则()(A)zmax=12,zmin=3(B)zmax=12,无最小值(C)zmin=3,无最大值(D)z既无最大值又无最小值43,3525,1,xyxyx解析:(1)画出可行域如图所示,z=2x+y即y=-2x+z在平移过程中的纵截距z既无最大值也无最小值.故选D.(2)若变量x,y满足约束条件则z=3x+2y的最小值为()(A)4(B)(C)6(D)458,13,02,xyxy235315解析:(2)由约束条件画出可行域如图.由z=3x+2y得y=-32x+2z,易知目标函数在直线4x+5y=8与x=1的交点A(1,45)处取得最小值,故zmin=235,故选B.题型二求非线性目标函数的最值【例2】已知求:(1)z=x2+y2-10y+25的最小值;20,40,250,xyxyxy解:(1)作出可行域如图所示(阴影部分),易知A(1,3),B(3,1),C(7,9).z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域内任一点(x,y)到点M(0,5)的距离的平方,过M作AC的垂线MN,易知垂足N在线段AC上,故|MN|=2|052|1(1)=32=322.所以|MN|2=(322)2=92,所以z的最小值为92.(2)z=的取值范围.211yx解:(2)z=211yx=2·1()2(1)yx表示可行域内点(x,y)与定点Q(-1,-12)连线斜率的2倍,因为kQA=74,kQB=38,所以z的取值范围是[34,72].方法技巧与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义:(1)22xy表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;(2)22()()xayb表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离;(3)22||AxByCAB表示点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离;(4)yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;(5)ybxa表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示可行域内任意一点(x,y)与点D(-1,0)距离的平方减去1,如图所示,过D作AB的垂线DP,垂足为P,所以|DP|=22|104|11=52=522,所以|DP|2=252.所以zmin=252-1=232,而由如图所示可知DC最长,故|DC|2也最大.所以zmax=[7-(-1)]2+(9-0)2-1=144.变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.题型三线性规划中的实际应用问题【例3】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z元,由题意得300,50020090000,0,0.xyxyxy目标函数为z=3000x+2000y.二元一次不等式组等价于300,52900,0,0.xyxyxy作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图阴影部分.作直线l:3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,由图可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.联立300,52900,xyxy解得x=100,y=200.所以点M的坐标为(100,200).所以zmax=3000×100+2000×200=700000(元).因此,该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广告,公司的收益最大,最大收益是70万元.方法技巧利用线性规划解决实际问题的步骤(1)设出未知数(当数据较多时,可以列表格来分析数据);(2)列出约束条件,确立目标函数;(3)作出可行域;(4)利用图解法求出最优解;(5)得出结论.即时训练3-1:某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如表:年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为()(A)50,0(B)30,20(C)20,30(D)0,50解析:设种植黄瓜x亩,韭菜y亩,则由题意可知,求目标函数z=x+0.9y的最大值.根据题意画出可行域如图阴影所示.当直线l向右平移,移至点A(30,20)处时,目标函数取得最大值,即当黄瓜种植30亩,韭菜种植20亩时,种植总利润最大.故选B.50,1.20.954,,N,xyxyxy