2019年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法

3.2一元二次不等式及其解法第一课时一元二次不等式及其解法课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.自主学习知识探究1.一元二次不等式的相关概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c0(≥0)或ax2+bx+c0(≤0),其中a≠0,且a,b,c为常数.使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的,一元二次不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的.将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式叫做不等式的同解变形.2解解集【知识拓展】(1)一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不意味着不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0.2.一元二次不等式的解法(1)三个“二次”之间的关系ax2+bx+c(a≠0)是二次三项式,把x当做自变量,a,b,c为常量,则y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数,令y=0,则ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程.令y0(或y0),则ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)是一元二次不等式.相应地,我们可分三种情况来讨论一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集,具体如表:Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的解有两个相异实根x1,2=242bbaca(x1x2)有两个相等实根x1=x2=-2ba没有实根ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}(即“大于取两边”){x|x≠-2ba}Rax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}(即“小于取中间”)(2)一元二次不等式的解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下:①通过变形化成标准的一元二次不等式的形式(要求二次项系数为正且右边为0);②求出相应的一元二次方程的根,有三种情况:Δ=0,Δ0和Δ0(即求相应方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1,x2);③画出对应二次函数的草图;④结合图形求不等式的解集.可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程,如图.【知识拓展】当a0时,解不等式可以从两个方面入手:①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下);②两边同乘以-1,把a转变为-a再进行求解.3.利用符号法则研究一元二次不等式的解法在上述的探讨中,我们知道一元二次不等式与一元二次方程有着紧密的联系,也认识到二次函数在解决一元二次不等式中的作用.但考虑到不等式解决的速度,结合本章3.1节所学的有关因式积的符号法则,即若ab0,则a,b同号;若ab0,则a,b异号,因此我们可以采取将二次三项式进行分解,然后利用上述符号法则来求解一元二次不等式.即对于一个二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a0,x1x2),若ax2+bx+c0,则xx1或xx2;若ax2+bx+c0,则x1xx2.【知识拓展】利用符号法则的前提是能熟练地对多项式进行因式分解,并且符号法则能够进行推广,可以进一步研究高次不等式和分式不等式.这也告诉我们,如果能对一个多项式进行分解,运用符号法则可快速解决相应不等式的解集问题.自我检测1.不等式x2-3x-40的解集为()(A){x|x-1或x4}(B){x|x≤-1或x≥4}(C){x|-1x4}(D){x|-1≤x≤4}A解析:因为x2-3x-4=(x+1)(x-4)0,所以x-1或x4.故选A.2.若不等式(x-a)(x-b)0的解集为{x|1x2},则a+b的值为()(A)3(B)1(C)-3(D)-1解析:因为不等式(x-a)(x-b)0的解集为{x|1x2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有1,2ab或2,1.ab所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.故选A.A3.函数f(x)=234xx+lg(x-1)的定义域是()D(A)[-1,4](B)(-1,4](C)[1,4](D)(1,4]解析:由210,340xxx＞⇒1x≤4.故选D.4.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表:解析:由题中表格可以看出x=3,-2时,y=0,x3或x-2时,y0.所以ax2+bx+c0的解集为{x|x3或x-2}.答案:(-∞,-2)∪(3,+∞)x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式ax2+bx+c0的解集是.解析:23xx0⇔(x-2)(x+3)0,所以x-3或x2.5.不等式23xx0的解集是.答案:(-∞,-3)∪(2,+∞)题型一解不含参数的一元二次不等式课堂探究【例1】解不等式:(1)2x2-3x-20;解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-12,x2=2.因为函数是开口向上的抛物线(如图(1)),所以原不等式的解集是{x|x-12或x2}.解:(2)不等式可化为3x2-6x+20.因为3x2-6x+2=0的根的判别式Δ=36-4×3×2=120,所以方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-33,x2=1+33.因为函数y=3x2-6x+2是开口向上的抛物线(如图(2)),所以原不等式的解集是{x|1-33x1+33}.(2)-3x2+6x-20;解:(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=12,函数y=4x2-4x+1是开口向上的抛物线(如图(3)),所以原不等式的解集是{x|x=12}.(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+20.解:(4)因为x2-2x+2=0的根的判别式Δ0,所以方程x2-2x+2=0无解.又因为函数y=x2-2x+2是开口向上的抛物线(如图(4)),所以原不等式的解集为R.方法技巧求解不含参数的一元二次不等式的一般步骤:(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为零,使二次项系数为正.(2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则计算对应方程的根的判别式.(3)求出相应的一元二次方程的根或根据根的判别式说明方程无实根.(4)根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)根据图象写出不等式的解集.即时训练1-1:解下列不等式:(1)x2+2x-150;(2)x22x-1;(3)-x2+x4;解:(1)x2+2x-150⇔(x+5)(x-3)0⇔x-5或x3,所以不等式的解集是{x|x-5或x3}.(2)x22x-1⇔x2-2x+10⇔(x-1)20⇔x≠1,所以不等式的解集是{x∈R|x≠1}.(3)原不等式可转化为x2-x+40,由方程x2-x+4=0的根的判别式Δ0知方程x2-x+4=0无实数根,由二次函数y=x2-x+4的图象知-x2+x4的解集为R.(4)-2x2+x+10.解:(4)原不等式可转化为2x2-x-10,由方程2x2-x-1=0的解为x1=-12,x2=1,由二次函数y=2x2-x-1的图象知原不等式的解集为{x|x-12或x1}.题型二解含参数的一元二次不等式解:原不等式可化为(x-1)(ax+1)0.(1)当a=0时,原不等式为x-10,所以解集为{x|x1}.【例2】解关于x的不等式:ax2+(1-a)x-10.(2)当a0时,-1a1,所以原不等式的解集为{x|x1或x-1a}.(3)当a0时,①当-1a0时,-1a1.所以原不等式的解集为{x|1x-1a}.②当a=-1时,原不等式变为-(x-1)20,所以解集为.③当a-1时,-1a1,所以原不等式的解集为{x|-1ax1}.方法技巧解含参数的一元二次不等式时要对参数分类讨论.(1)讨论二次项系数,按二次项系数等于零、大于零、小于零三种情况进行分类;(2)讨论根的判别式Δ0,Δ=0,Δ0;(3)讨论根的大小.讨论顺序可简记为“一a,二Δ,三两根大小”.解:原不等式可变形为(x-a)(x-a2)0,则方程(x-a)(x-a2)=0的两个根为x1=a,x2=a2,(1)当a0时,有aa2,所以xa或xa2,此时原不等式的解集为{x|xa或xa2};(2)当0a1时,有aa2,即xa2或xa,此时原不等式的解集为{x|xa2或xa};即时训练2-1:解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a30.(3)当a1时,有a2a,即xa或xa2,此时原不等式的解集为{x|xa或xa2};(4)当a=0时,有x≠0;所以原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};(5)当a=1时,有x≠1,此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1};综上可知:当a0或a1时,原不等式的解集为{x|xa或xa2};当0a1时,原不等式的解集为{x|xa2或xa};当a=0时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0};当a=1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}.题型三简单的分式不等式和高次不等式的解法【例3】解下列不等式:(1)≥0;2131xx解:(1)原不等式可化为21310,310,xxx解得11,321,3xxx或所以x-13或x≥12,所以原不等式的解集为{x|x-13或x≥12}.(2)1;解:(2)原不等式可化为233xxx0,化简得213xx0,即213xx0,所以(2x+1)(x+3)0,解得-3x-12.所以原不等式的解集为{x|-3x-12}.23xx(3)不等式(x+1)(1-x)(x-2)0的解集为(写成区间的形式).(3)解析:原不等式等价于(x-1)(x-2)(x+1)0.令y=(x-1)(x-2)(x+1),各因式对应的根分别为1,2,-1,结合图可得不等式解集为{x|x-1或1x2}.答案:(-∞,-1)∪(1,2)方法技巧1.分式不等式的解法:分子、分母均含x的不等式,若有一侧不为零,要先移项将一侧化为零,即先整理成标准型fxgx0(0)或fxgx≥0(≤0),再化成整式不等式来解:①fxgx0⇔f(x)·g(x)0;②fxgx0⇔f(x)·g(x)0;③fxgx≥0⇔0,0;fxgxgx④fxgx≤0⇔0,0.fxgxgx2.简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种:(1)将高次不等式f(x)0(0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的乘积,根据实数运算的符号法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组).于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集.(2)穿针引线法:①将不等式化为标准形式,一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可约因式的乘积;②求出各因式的实数根,并在数轴上标出;③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶次重根穿而不过(即“奇过偶不过”);④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.即时训练3-1:(1)不等式1xx≤3的解集是;解析:(1)原不等式等价于1xx-3≤0⇔12xx≤0⇔21xx≥0⇔x(2x-1)≥0,且x≠0,解得x≥12或x0.答案:(1){x|x≥12或x0}(2)不等式213xx1的解集是;解析:(2)原不等式等价于