2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末总结课件 新人教A版选修2-1

章末总结点击进入网络建构主题串讲一、求曲线方程【典例1】设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,过原点作圆的弦OA,求OA中点B的轨迹方程.解:法一直接法设B点坐标为(x,y),由题意得|OB|2+|BC|2=|OC|2,即x2+y2+[(x-1)2+y2]=1,即OA中点B的轨迹方程为(x-12)2+y2=14(去掉原点).法二几何法设B点坐标为(x,y),由题意知CB⊥OA,OC的中点记为M(12,0),如图,则|MB|=12|OC|=12,故B点的轨迹方程为(x-12)2+y2=14(去掉原点).法三代入法设A点坐标为(x1,y1),B点坐标为(x,y),由题意得11,2,2xxyy即112,2,xxyy又因为(x1-1)2+21y=1,所以(2x-1)2+(2y)2=1.即(x-12)2+y2=14(去掉原点).规律方法(1)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质,做好对图形变化情况的总体分析,选好相应的解题策略,具体方法,注意将动点的几何特性用数学语言表述.(2)要注意轨迹问题所包含的隐含条件,也就是曲线上点的坐标的取值范围.即时训练1-1:(1)已知F1,F2分别为椭圆C:24x+23y=1的左、右焦点,点P为椭圆C上的动点,则△PF1F2的重心G的轨迹方程为()(A)236x+227y=1(y≠0)(B)249x+y2=1(y≠0)(C)294x+3y2=1(y≠0)(D)x2+243y=1(y≠0)解析:(1)依题意知F1(-1,0),F2(1,0),设P(x0,y0),G(x,y),由重心坐标公式得0011,3.3xxyy即003,3.xxyy代入204x+203y=1得重心G的轨迹方程为294x+3y2=1(y≠0).故选C.答案:(1)C(2)在△ABC中,B(-3,0),C(3,0),直线AB,AC的斜率之积为49,则顶点A的轨迹方程为.解析:(2)设A(x,y),则kAB=3yx,kAC=3yx,(x≠±3)由kAB·kAC=3yx·3yx=49,化简可得29x-24y=1,所以顶点A的轨迹方程为29x-24y=1(x≠±3).答案:(2)29x-24y=1(x≠±3)(3)设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且MN=2MP,PM⊥PF,当点P在y轴上运动时,则点N的轨迹方程为.解析:(3)设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),因为PM⊥PF,PM=(x0,-y0),PF=(1,-y0),所以(x0,-y0)·(1,-y0)=0,所以x0+20y=0.由MN=2MP得(x-x0,y)=2(-x0,y0),所以00022,xxxyy即00,1,2xxyy所以-x+24y=0,即y2=4x.答案:(3)y2=4x二、圆锥曲线的定义及性质【典例2】(1)已知F1,F2是双曲线E:22xa-22yb=1的左、右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=13,则E的离心率为()(A)2(B)32(C)3(D)2解析:(1)作出示意图,如图,离心率e=ca=22ca=1221FFMFMF,由正弦定理得e=1221FFMFMF=121221sinsinsinFMFMFFMFF=223113=2.故选A.(2)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP=4FQ,则|QF|等于()(A)72(B)52(C)3(D)2解析:(2)如图所示,过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,设l与x轴交点为M,因为FP=4FQ,所以|QQ′|∶|MF|=|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离|MF|=4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.规律方法(1)圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础,也是解题的重要工具,灵活运用定义,可避免很多复杂的计算,提高解题效率,因此在解决圆锥曲线的有关问题时,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.(2)应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合、方程等思想结合运用.即时训练2-1:(1)设F1,F2是椭圆E:22xa+22yb=1(ab0)的左、右焦点,P为直线x=32a上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()(A)12(B)23(C)34(D)45解析:(1)由题意可得|PF2|=|F1F2|,∠PF2x=2∠PF1F2=60°,所以2(32a-c)=2c,所以3a=4c,所以e=ca=34.故选C.(2)已知点F是双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是()(A)(1,+∞)(B)(1,2)(C)(2,1+2)(D)(1,1+2)解析:(2)若△ABE是锐角三角形,只需∠AEF45°,在Rt△AFE中,|AF|=2ba,|FE|=a+c,则2baa+c,即b2a2+ac,即2a2-c2+ac0,则e2-e-20,得-1e2,又e1,则1e2,故选B.(3)设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:(3)依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F(12,0),所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=(x1+x2+x3)+32=32+32=3.故选C.三、直线与圆锥曲线的位置关系【典例3】已知椭圆C:22x+y2=1和圆O:x2+y2=1.过点A(m,0)(m1)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1与圆O相切于点P,l2与椭圆相交于不同的两点M,N.(1)若m=2,求直线l1的方程;解:设直线l1的方程是x=ny+m.(1)若m=2,直线l1的方程是x=ny+2.因为l1与圆O相切,所以221n=1,解得n=±1,所以直线l1的方程是y=x-2或y=-x+2.解:(2)由已知,直线l2的方程是y=-n(x-m),将y=-n(x-m)代入22x+y2=1化简得(1+2n2)x2-4mn2x+2m2n2-2=0.由Δ=16m2n4-8(1+2n2)(m2n2-1)=8(1+2n2-m2n2)0①又21mn=1,得m2=n2+1.②由①②解得352m2352,所以1m512(或1m352).(2)求m的取值范围;(3)求△OMN面积的最大值.解:(3)设M(x1,y1),N(x2,y2),△OMN面积S=12|mn||x1-x2|=222222212212mnnmnn=222222221212mnmnnn令t=22212mnn,则S=22tt,由1m512及m2=n2+1,得0t1,所以,当t=12时,Smax=22.规律方法直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识,形成了求轨迹,最值,对称,取值范围,线段的长度等多种问题.解决此类问题应注意数形结合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及“点差法”等.即时训练3-1:(2017·江西临川十中期中)已知圆C1的圆心为坐标原点O,且恰好与直线l1:x-2y+35=0相切,点A为圆上一动点,AM⊥x轴于点M,且动点N满足ON=23OA+(223-23)OM,设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为AM⊥x轴于点M,所以M(x0,0),设圆C1的方程为x2+y2=r2,由题意得r=3514=3,所以圆C1的方程为x2+y2=9.由题意,ON=23OA+(223-23)OM,得(x,y)=23(x0,y0)+(223-23)(x0,0),所以0022,32,3xxyy即003,223,2xxyy将A(322x,23y)代入x2+y2=9,得动点N的轨迹方程为28x+24y=1.(2)若直线l与曲线C相交于不同两点A,B,且满足OA⊥OB(O为坐标原点),求线段AB长度的取值范围.解:(2)①假设直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+m,联立22,28,ykxmxy可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.所以Δ=64k2-8m2+320.x1+x2=-2412kmk,x1x2=222812mk,(*)因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,则x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,化简可得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.将(*)代入上式可得3m2=8k2+8.|AB|=21k|x1-x2|=222264832112kmkk将m2=83(k2+1)代入上式,可得|AB|=21k·22264323312kk=323·2421144kkk当k≠0时,|AB|=323·2211144kk≤23.所以当且仅当k2=12,即k=±22时等号成立.又242144kkk0,所以|AB|323=463.又易知当k=0时,|AB|=463.所以463≤|AB|≤23.②若直线l的斜率不存在,则不妨设A在第一象限,OA所在直线方程为y=x,联立22,28yxxy解得A(263,263),同理求得B(263,-263),求得|AB|=463.综上,线段AB长度的取值范围为[463,23].四、圆锥曲线中的定点、定值、最值问题【典例4】已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点.(1)求F点坐标;解:(1)因为y2=4x,所以p=2,因为F的坐标为(2p,0),所以F(1,0).(2)试问在x轴上是否存在一点T(不与F重合),使∠ATF=∠BTF?若存在,求出T点坐标;若不存在,请说明理由.解:(2)假设存在这样的点T(不与F重合),设为T(a,0),a≠1,设直线l:x=my+1,代入抛物线y2=4x,得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1·y2=-4.因为∠ATF=∠BTF,所以kAT+kBT=0.因为kAT=11yxa,kBT=22yxa,所以11yxa+22yxa=0,所以y1(x2-a)+y2(x1-a)=0,所以y1(224y-a)+y2(214y-a)=0,所以12124yyyy-a(y1+y2)=0,所以-4m-4am=0,所以a=-1.即T的坐标为(-1,0).(3)若P是抛物线上异于A,B的任意一点,l1是抛物线的准线,直线PA,PB分别交l1于点M,N,求证:OM·ON为定值,并求出该定值.解:(3)设P(204y,y0),M(-1,yM),N(-1,yN),所以kAP=10221044yyyy=104yy,所以lAP:y=104yy(x-x1)+y1,令x=-1,得yM=01104yyyy,同理可得yN=02204yyyy,yM·yN=20120122120120164yyyyyyyyyyyy=2002001616444myymyy=-4,所以OM·ON=1+yM·yN=-3,故OM·ON为定值-3.规律方法圆锥曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、面积等最值问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的最值问题,这两类问题的解决往往通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及数形结合,设参,转化,代换等途径来解决.五、易错易误辨析1.忽略了对答案的验证致误【典例5】已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双