2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.自主学习知识探究1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线定义的集合表示设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a0),则点P在左支上.如图①所示.②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a0),则点P在右支上.如图②所示.(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”.①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.②若2a2c,即||PF1|-|PF2|||F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.标准方程22xa-22yb=1(a0,b0)22ya-22xb=1(a0,b0)双曲线在坐标系中的位置焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系c2=a2+b23.双曲线的标准方程注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中ab0,而双曲线中,a,b大小则不确定.(2)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.简言之,“焦点跟着正项走”.4.双曲线的一般方程当ABC≠0时,方程Ax2+By2=C可以变形为2xCA+2yCB=1,由此可以看出方程Ax2+By2=C表示双曲线的充要条件是ABC≠0,且A,B异号.此时称方程Ax2+By2=C为双曲线的一般方程.利用一般方程求双曲线的标准方程时,可以将其设为Ax2+By2=1(AB0),将其化为标准方程,即21xA+21yB=1.因此,当A0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当B0时,表示焦点在y轴上的双曲线.5.共焦点的双曲线系方程与双曲线22xa-22yb=1(a0,b0)有公共焦点的双曲线的方程为22xa-22yb=1(a0,b0,-a2λb2);与双曲线22ya-22xb=1(a0,b0)有公共焦点的双曲线的方程为22ya-22xb=1(a0,b0,-a2λb2).6.双曲线的焦点三角形问题如图,P是双曲线22xa-22yb=1上任意一点,当点P,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.设∠F1PF2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得,||PF1|-|PF2||=2a⇔|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2,①|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosθ=|F1F2|2=4c2,②由②-①得2|PF1|·|PF2|·(1-cosθ)=4c2-4a2,则|PF1|·|PF2|=221cosb.又12PFFS=12|PF1|·|PF2|·sinθ,从而12PFFS=b2·sin1cos=2tan2b.自我检测1.双曲线216x-29y=1上一点P,到点(5,0)的距离为15,那么该点到(-5,0)的距离为()(A)7(B)23(C)5或25(D)7或23D解析:双曲线的焦点坐标为(±5,0),令|PF2|=15,由||PF1|-|PF2||=8,解得|PF1|=23或|PF1|=7.2.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是()(A)216x-29y=1(x≤-4)(B)29x-216y=1(x≤-3)(C)216x-29y=1(x≥4)(D)29x-216y=1(x≥3)D解析:由已知动点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的右支,且a=3,c=5,b2=c2-a2=16,所以所求轨迹方程为29x-216y=1(x≥3).3.若k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆(C)焦点在y轴上的双曲线(D)焦点在x轴上的双曲线C解析:由已知a2=m,b2=3,所以m+3=9,所以m=6.答案:64.若双曲线2xm-23y=1的右焦点坐标为(3,0),则m=.解析:设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4即|PB|-|PA|=4|AB|=8.所以点P的轨迹是以A,B为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.又因为2c=8,所以c=4.所以b2=c2-a2=12,所以动圆圆心的轨迹方程为24x-212y=1(x≤-2).5.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为.答案:24x-212y=1(x≤-2)题型一双曲线定义的理解及应用课堂探究【例1】(1)已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是()(A)双曲线(B)双曲线的一支(C)直线(D)一条射线解析:(1)F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D.答案:(1)D(2)如图,若F1,F2是双曲线29x-216y=1的两个焦点,P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32,则△F1PF2的面积为.解析:(2)由双曲线方程29x-216y=1,可知a=3,b=4,c=22ab=5.因为P是双曲线左支上的点,|PF2|-|PF1|=2a=6,(*)将(*)式两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=221212122||2PFPFFFPFPF=121001002PFPF=0,所以∠F1PF2=90°,所以12FPFS=12|PF1|·|PF2|=12×32=16.答案:(2)16变式探究:若将例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”改为“1PF·2PF=0”,其他条件不变,则|PF1|·|PF2|的值为.解析:由双曲线方程29x-216y=1,可知a=3,b=4,c=22ab=5.由题意得,|PF2|-|PF1|=2a=6,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36.①又1PF·2PF=0,所以PF1⊥PF2.在Rt△PF1F2中,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.②将②代入①式,得2|PF1|·|PF2|=64,所以|PF1|·|PF2|=32.答案:32误区警示(1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.(2)解题的关键是“|PF1|·|PF2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的.即时训练1-1:(1)设P为双曲线x2-212y=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,求△PF1F2的面积;解:(1)因为|PF1|-|PF2|=2a=2,且|PF1|∶|PF2|=3∶2,所以|PF1|=6,|PF2|=4.又因为|F1F2|=2c=213,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以12PFFS=12|PF1|·|PF2|=12×6×4=12.(2)已知一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离差的绝对值为定值a(a≥0),求点P的轨迹.解:(2)因为|F1F2|=2,①当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)或y=0(x≤-1);②当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程x=0;③当0a2时,轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线;④当a2时,轨迹不存在.题型二双曲线标准方程的求法【例2】根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线216x-24y=1有相同的焦点,且经过点(32,2);解:(1)法一因为焦点相同,所以设所求标准方程为22xa-22yb=1(a0,b0),所以c2=16+4=20,即a2+b2=20,①因为双曲线经过点(32,2),所以218a-24b=1,②由①②得a2=12,b2=8,所以双曲线的标准方程为212x-28y=1.法二设所求双曲线方程为216x-24y=1(-4λ16).因为双曲线过点(32,2),所以1816-44=1,解得λ=4,或λ=-14(舍去).所以双曲线的标准方程为212x-28y=1.(2)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上.解:(2)法一当焦点在x轴上时,设标准方程为22xa-22yb=1(a0,b0),因为点P,Q在双曲线上,所以222292251,16256251,9abab此方程组无解.当焦点在y轴上时,设标准方程为22ya-22xb=1(a0,b0),因为点P,Q在双曲线上,所以222222591,16252561,9abab解得229,16.ab所以双曲线的标准方程为29y-216x=1.法二设双曲线方程为2xm+2yn=1,mn0.因为点P,Q在双曲线上,所以92251,16256251,9mnmn解得16,9.mn所以双曲线的标准方程为29y-216x=1.方法技巧利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:即时训练2-1:(1)设双曲线C的两个焦点为(-2,0),(2,0),且a=1,则C的标准方程为.(2)写出下列条件的双曲线的标准方程.①a=4,c=5,焦点在x轴上,则标准方程为;解析:(1)由双曲线焦点坐标知c=2,且焦点在x轴上,由c2=a2+b2,a=1得b2=1,所以双曲线C的方程为x2-y2=1.(2)①设双曲线方程为22xa-22yb=1(a0,b0).因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为216x-29y=1.答案:(1)x2-y2=1(2)①216x-29y=1②a=4,经过点A(1,4103),则标准方程方程为.解析:②若所求的双曲线标准方程为22xa-22yb=1(a0,b0),则将a=4代入得216x-22yb=1.因为点A(1,4103)在双曲线上,所以116-21609b=1,由此得b20,不合题意舍去.若所求的双曲线标准方程为22ya-22xb=1(a0,b0),同理解得b2=9.所以双曲线的标准方程为216y-29x=1.答案:②216y-29x=1双曲线标准方程的理解题型三【例3】(1)若θ是第三象限角,则方程x2+y2sinθ=cosθ表示的曲线是()(A)焦点在y轴上的双曲线(B)焦点在x轴上的双曲线(C)焦点在y轴上的椭圆(D)焦点在x轴上的椭圆(1)解析:曲线方程可化为2cosx+2coss