2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程课件 新人教A版选修2-1

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程课标要求:1.了解椭圆标准方程的推导.2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程.3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程.自主学习1.椭圆的定义(1)椭圆的定义我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合设点M是椭圆上的任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义知,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=常数,常数|F1F2|0}.知识探究注意:对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆.(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段.(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.(4)此定义是推导椭圆方程的依据.(5)理解椭圆定义要紧扣“到两定点距离之和为定值且大于两定点间的距离”.2.椭圆的标准方程(1)标准方程的两种形式形式:22xa+22yb=1(ab0)表示中心在原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程,其中b2=a2-c2.形式:22ya+22xb=1(ab0)表示中心在原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程,其中b2=a2-c2.(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程22xa+22yb=1(ab0)22ya+22xb=1(ab0)焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系b2=a2-c2b2=a2-c2注意:椭圆标准方程的推导,要充分利用椭圆的对称性,当且仅当椭圆的中心为坐标原点,其焦点在坐标轴上时,椭圆的方程才具有标准形式.(1)标准方程中根据x2,y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上,x2对应的分母大,焦点就在x轴上;y2对应的分母大,焦点就在y轴上.(2)标准方程中的两个参数a,b确定了椭圆的形状和大小,是椭圆定形的条件,a,b,c三个量满足a2=b2+c2,恰好是一个直角三角形的三条边,构成如图的直角三角形,称为椭圆的“特征三角形”.椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a,b,c的几何意义.(3)椭圆两种标准方程的统一形式椭圆的两种标准方程可以写成统一形式:Ax2+By2=1(其中A0,B0,A≠B).方程Ax2+By2=1(其中A0,B0,A≠B)包含椭圆的焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况,方程可变形为21xA+21yB=1,当1A1B,即BA时,表示焦点在x轴上的椭圆;当1A1B,即BA时,表示焦点在y轴上的椭圆.(4)椭圆的一般方程当ABC≠0时,方程Ax2+By2=C可以变形为2xCA+2yCB=1,由此可以看出方程Ax2+By2=C表示椭圆的充要条件是ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B.此时称方程Ax2+By2=C为椭圆的一般方程.(5)共焦点的椭圆系方程与椭圆22xa+22yb=1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为22xa+22yb=1(ab0);与椭圆22ya+22xb=1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为22ya+22xb=1(ab0).③焦点三角形的面积12FMFS=12|MF1||MF2|sin∠F1MF2=b2tan122FMF.3.椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形,如图所示.(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.②在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2.自我检测D解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.1.设P是椭圆225x+216y=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于()(A)4(B)5(C)8(D)102.椭圆的两焦点坐标分别为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点(52,-32),则椭圆方程是()(A)28y+24x=1(B)210y+26x=1(C)24y+28x=1(D)210x+26y=1解析:设F1(-2,0),F2(2,0),点P(52,-32),因为2a=|PF1|+|PF2|=210,所以a2=10,又因为c=2,即a2-b2=4,所以b2=6,所以椭圆方程是210x+26y=1,故选D.DC3.方程24xk+210yk=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是()(A)(4,+∞)(B)(4,7)(C)(7,10)(D)(4,10)解析:由已知,k-410-k0,解得7k10.故选C.4.已知△ABC的周长为20,且顶点B(0,-4),C(0,4),则顶点A的轨迹方程是.答案:220x+236y=1(x≠0)5.椭圆24x+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作x轴的垂线与椭圆相交,一个交点为P,则△PF1F2的面积等于.解析:如图所示,由定义可知,|PF1|+|PF2|=2a=4,c=22ab=3,又由PF1⊥F1F2,可设点P的坐标为(-3,y0),代入24x+y2=1,得|y0|=12,即|PF1|=12,所以12PFFS=12|PF1|·|F1F2|=32.答案:32题型一椭圆定义的理解及应用课堂探究【例1】(1)已知△ABC的顶点B,C在椭圆23x+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()(A)23(B)6(C)43(D)12解析:(1)由椭圆的方程得a=3.设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义得|BA|+|BF|=|CA|+|CF|=2a,所以△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|=|BA|+|BF|+|CF|+|CA|=(|BA|+|BF|)+(|CF|+|CA|)=2a+2a=4a=43.故选C.答案:(1)C(2)设P是椭圆225x+2754y=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.解析:(2)由椭圆方程知,a2=25,b2=754,所以c2=254,所以c=52,2c=5.在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得10=|PF1|+|PF2|,所以100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,所以|PF1|·|PF2|=25,所以12FPFS=12|PF1|·|PF2|·sin60°=2534.答案:(2)2534变式探究1:若将本例中椭圆方程改为“212x+23y=1”,其他条件不变,求△F1PF2的面积.解:可得c=3,a=23,在△F1PF2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos60°,即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,①由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=43,所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|,②由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以12FPFS=12|PF1|·|PF2|·sin60°=3.变式探究2:在本例中,若把椭圆方程改为“24x+23y=1”,把∠F1PF2=60°,改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,求△PF1F2的面积.解:椭圆方程24x+23y=1,则a=2,c=1,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=2,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°.所以|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2.从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+4,则|PF1|=32,因此12PFFS=12·|F1F2|·|PF1|=32.故所求△PF1F2的面积为32.方法技巧(1)对于涉及椭圆上一点到其焦点的距离问题,常常考虑运用椭圆的定义,即椭圆上一点到两焦点的距离之和为定值2a.(2)与焦点三角形有关的问题,常考虑定义、余弦定理相结合求解,注意方程思想的应用.即时训练1-1:(1)若椭圆C:29x+22y=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且|PF1|=4,则∠F2PF1等于()(A)π6(B)π3(C)2π3(D)5π6解析:(1)由题意得a=3,c=7,则|PF2|=2a-|PF1|=2.在△F2PF1中,由余弦定理可得cos∠F2PF1=22242(27)242=-12.又因为∠F2PF1∈(0,π),所以∠F2PF1=2π3.故选C.答案:(1)C(2)已知圆C1的方程为(x+1)2+y2=18,圆C2的方程为(x-1)2+y2=498,动圆M与C1外切且与C2内切,则动圆圆心M的轨迹方程是.解析:(2)由条件知C1(-1,0),C2(1,0),r1=122,r2=722,设M点坐标为(x,y),动圆半径为r,则由题意可知|MC1|=r+122,|MC2|=722-r,所以|MC1|+|MC2|=822=222,所以由椭圆定义知,动点M的轨迹是以C1(-1,0),C2(1,0)为焦点的椭圆,且2a=22,所以a=2,c=1,b2=1,故动圆圆心M的轨迹方程为22x+y2=1.答案:(2)22x+y2=1题型二椭圆标准方程的理解【例2】(1)如果方程24xm+23ym=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()(A)(3,4)(B)(72,+∞)(C)(3,72)(D)(72,4)解析:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以a2=m-3,b2=4-m,且a2b2,所以30,40,34.mmmm解得72m4.故选D.(2)已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=23,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为()(A)212x+29y=1(B)212x+29y=1或29x+212y=1(C)29x+212y=1(D)248x+245y=1或245x+248y=1解析:(2)由已知2c=|F1F2|=23,所以c=3.因为2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=43,所以a=23.所以b2=a2-c2=9.故椭圆C的标准方程是212x+29y=1或29x+212y=1.故选B.求参数的范围就是根据条件列出以参数为未知量的不等式(组)或方程(组),把问题转化为不等式(组)或方程(组)的求解问题.本题如果未知焦点所在的位置,就要分两种情形分别列式求解.方法技巧即时训练2-1:(1)已知方程252xm+21ym=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为;解析:(1)由题意知,实数m满足|m|-15-2m,且5-2m0,可知当m≤0时无解;当m0时,2m52.综上2m52.答案:(1)(2,52)解析:(2)由椭圆5x2+ky2=5得21x+25yk=1,由题意a2=5k,b2=1,c=2.又a2=b2+c2,所以5k=1+4,所以k=1(2)(2016·山东济南检测)如果椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k=.答案:(2)1求椭圆的标准方程题型三【例3】求满足下列条件的椭圆的标准方程.(1)a=5,c=2,焦点在y轴上;解:(1)因为a=5,c=2,所以b2=a2-c2=25-4=21.又因为椭圆的焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为225y+221x=1.解:(2)由题知2c=8,2a=12,所以a=6,c=4.所以b2=a2-c2=36-16=20.当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的方程为236x+220y=1;当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的方程为236y+220x=1.(