2019年高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4

2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理课标要求:1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理.2.理解两个向量夹角的定义,两向量垂直的定义.3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用.自主学习1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_____________向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=________________.(2)我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______.探究1:如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?提示:不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.知识探究不共线λ1e1+λ2e2基底2.两向量的夹角(1)定义:已知两个_________________a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围:向量a与b的夹角的范围是___________________.(3)当θ=0°时,a与b_____________.(4)当θ=180°时,a与b___________.(5)如果a与b的夹角是__________,则称a与b垂直,记作a⊥b.非零向量0°≤θ≤180°同向反向90°注意:如图所示,向量a与b的夹角不是θ,而是180°-θ.探究2:直线的夹角和向量的夹角有什么区别?提示:①向量的夹角是针对非零向量定义的②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和［0,π2］.【拓展延伸】对平面向量基本定理的理解(1)这个定理告诉我们,在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的,同一非零向量在不同的基底下的分解式是不同的,而零向量的分解式是唯一的,即0=λ1e1+λ2e2,且λ1=λ2=0.(2)由平面向量基本定理可知,如果将平面内向量的起点放在一起,那么平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是说,平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.(3)由平面向量的基本定理知,在平面内任取两个不共线的向量作为一组基底,则平面内的任一向量都可以用这组基底表示出来,因而可以简化向量的个数.(4)由向量共线定理可知,任意一个向量都可以用一个与它共线的非零向量线性表示,而且这种表示是唯一的.因此平面向量基本定理是向量共线定理从一维到二维的推广.(5)已知平面内直线AB外任意一点O,则满足向量关系式OP=xOA+yOB(其中x+y=1)的点P与点A,B共线,此结论是平面向量基本定理的一种特例.(6)平面向量基本定理可推广为:在平面内任意三个不共线的向量中,任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合,且形式唯一.自我检测D2.已知向量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1,e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系是()(A)不共线(B)共线(C)相等(D)不确定B1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有()(A)e1,e2一定共线(B)同一平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)(C)若平面内存在向量a,使得a=λe1+μe2(λ,μ∈R),则e1,e2一定不共线(D)若平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R),则e1,e2一定不共线D3.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若AB=λAM+μAN,则λ+μ等于()(A)15(B)25(C)35(D)45解析:因为AB=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=2AN+CM+MA=2AN-14AB-AM,所以AB=85AN-45AM,所以λ+μ=45.故选D.4.正△ABC中,向量AB,BC的夹角为.答案:120°5.已知向量a与b是一组基底,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则x-y=.答案:3题型一用基底表示向量课堂探究【例1】(1)若向量a,b不共线,且c=2a-b,d=3a-2b,试判断c,d能否构成一组基底;解:(1)易知d≠0,假设存在实数λ,使得c=λd,则2a-b=λ(3a-2b),即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0.由于a,b不共线,从而2-3λ=2λ-1=0,这样的λ是不存在的,从而假设不成立,即c,d不共线,故c,d能构成一组基底.(2)如图所示,在△ABC中,点M是AB的中点,且AN=12NC,BN与CM相交于点E,设AB=a,AC=b,试用基底a,b表示向量AE.解:(2)由已知,在△ABC中,AM=MB,且AN=12NC,已知BN与CM交于点E,过N作AB的平行线,交CM于D,在三角形ACM中,CN∶CA=ND∶AM=2∶3,所以ND∶MB=NE∶EB=DE∶EM=2∶3,所以NE=25NB,AE=AN+NE=13AC+25NB=13AC+25(NA+AB)=13AC+25(-13AC+AB)=25AB+15AC=25a+15b.方法技巧判断基底的依据判断两个向量能否构成一组基底,主要看这两个向量是否共线.此外,一个平面的基底一旦确定,那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示.即时训练1-1:(1)e1,e2是平面内所有向量的一组基底,则下列四组向量中不能作为一组基底的是()(A)e1和e1+e2(B)e1-2e2和e2-2e1(C)e1-2e2和4e2-2e1(D)e1+e2和e1-e2解析:(1)C中,e1-2e2与4e2-2e1共线,不能作为基底.故选C.答案:(1)C(2)如图所示,平行四边形ABCD中,E是边BC上一点,G为AC与DE的交点,且AG=3GC,若AB=a,AD=b,则用a,b表示BG=.解析:(2)由题意知AG=34AC=34(a+b),BG=AG-AB=-14a+34b.答案:(2)-14a+34b题型二向量的夹角问题【例2】已知︱a︱=︱b︱=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是,a-b与a的夹角是,a+b与a-b的夹角是.解析:如图,作向量OA=a,OB=b,以OA,OB为邻边作平行四边形,则四边形OACB为菱形.OC=a+b,BA=OA-OB=a-b,由已知得OC与OA的夹角为30°,BA与OA的夹角为60°,OC⊥BA.所以a+b与a的夹角为30°,a-b与a的夹角为60°,a+b与a-b的夹角为90°.方法技巧求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,根据向量夹角的概念确定夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角,过程简记为“一作二证三算”.即时训练2-1:(1)锐角三角形ABC中,下列说法正确的是()(A)AB与BC的夹角是锐角(B)AB与AC的夹角是锐角(C)AC与BC的夹角是钝角(D)AC与CB的夹角是锐角解析:(1)由两向量的夹角定义知,AB与BC的夹角是180°-∠B,AB与AC的夹角是∠A,AC与BC的夹角是∠C,AC与BC的夹角是180°-∠C,只有B正确.故选B.答案:(1)B解析:(2)作BC=a,CA=b,则c=a+b=BA(如图所示),则a,b的夹角为180°-∠C.因为︱a︱=1,︱b︱=2,c⊥a,所以∠C=60°,所以a,b的夹角为120°.(2)已知向量a,b,c满足︱a︱=1,︱b︱=2,c=a+b,c⊥a,则a,b的夹角等于.答案:(2)120°平面向量基本定理的应用题型三【例3】如图所示,已知▱ABCD中,E,F分别是BC,DC边上的中点,(1)若AB=a,AD=b,试以a,b为基底表示DE,BF;解:(1)因为四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是BC,DC边上的中点,所以AD=BC=2BE,BA=CD=2CF,所以BE=12AD=12b,CF=12BA=-12AB=-12a.所DE=DA+AB+BE=-AD+AB+BE=-b+a+12b=a-12b.BF=BC+CF=AD+CF=b-12a.(2)若取AC=x,DB=y作为基底,试用x,y表示DE,BF.解:(2)依题意x=a+b,y=a-b,所以x+y=2a,x-y=2b,所以a=12(x+y),b=12(x-y).于是DE=a-12b=12(x+y)-14(x-y)=14x+34y,BF=b-12a=12(x-y)-14(x+y)=14x-34y.即时训练3-1:如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求证:AP∶PM=4∶1.证明:设AB=b,AC=c,则AM=12b+12c,AN=23AC=23c,BN=BA+AN=23c-b.因为AP∥AM,BP∥BN,所以存在λ,μ∈R,使得AP=λAM,BP=μBN,又因为AP+PB=AB,所以λAM-μBN=AB,所以λ(12b+12c)-μ(23c-b)=b即(12λ+μ)b+(12λ-23μ)c=b.又因为b与c不共线,所以112120.23，解得453.5，故AP=45AM.即AP∶PM=4∶1.